1. В треугольнике ABC с прямым углом при гипотенузе AB, катет BC = a расположен против угла, измеряемого 15 градусов

Задача 1:
Мы имеем треугольник ABC, в котором прямой угол находится у гипотенузы AB, а катет BC равен a и противоположен углу, измеряемому 15 градусов.

Чтобы найти длину второго катета, давайте использовать теорему синусов.

Согласно теореме синусов, отношение длин сторон треугольника к синусам соответствующих углов равно. Таким образом, мы можем записать:

\[
\frac{{BC}}{{\sin(90^\circ)}} = \frac{{AC}}{{\sin(15^\circ)}}
\]

Поскольку \(\sin(90^\circ) = 1\), уравнение может быть упрощено до:

\[
BC = AC \cdot \sin(15^\circ)
\]

Теперь мы должны найти значение \(\sin(15^\circ)\). Зная, что \(\sin(a + b) = \sin(a) \cdot \cos(b) + \cos(a) \cdot \sin(b)\), мы можем записать:

\[
\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ) \cdot \cos(30^\circ) - \cos(45^\circ) \cdot \sin(30^\circ)
\]

Используя известные значения \(\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\) и \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), мы можем вычислить значение \(\sin(15^\circ)\) следующим образом:

\[
\sin(15^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}
\]

Теперь, заменив значение \(\sin(15^\circ)\) в исходном уравнении, мы получим:

\[
BC = AC \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}
\]

Задача 1 решена.

Задача 2:
Мы должны доказать, что сумма оснований трапеции равна произведению диагоналей, деленному на двойную высоту, при условии, что диагонали пересекаются под прямым углом.

Пусть основания трапеции равны a и b, а диагонали равны d1 и d2. Высота трапеции обозначается как h.

По определению трапеции, параллельные стороны a и b, называемые основаниями, соединены двумя непараллельными сторонами, называемыми боковыми сторонами.

Чтобы доказать утверждение, давайте воспользуемся формулой для площади трапеции:

\[
S = \frac{{(a + b) \cdot h}}{2}
\]

Заметим также, что диагонали d1 и d2 делят трапецию на 4 треугольника. Для каждого треугольника, площадь можно выразить как половину произведения длины основания на высоту:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_2 + \frac{1}{2} \cdot d1 \cdot h_3 + \frac{1}{2} \cdot d2 \cdot h_4
\]

Объединяя все определения, получим:

\[
\frac{{(a + b) \cdot h}}{2} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_2 + \frac{1}{2} \cdot d1 \cdot h_3 + \frac{1}{2} \cdot d2 \cdot h_4
\]

Упростив уравнение, исключив общий множитель \(\frac{1}{2}\), получим:

\[
(a + b) \cdot h = a \cdot h_1 + b \cdot h_2 + d1 \cdot h_3 + d2 \cdot h_4
\]

Теперь давайте рассмотрим факт, что диагонали пересекаются под прямым углом. Это означает, что прямоугольники, образованные диагоналями и боковыми сторонами, равны по площади:

\[
a \cdot h_1 + b \cdot h_2 = d1 \cdot h_3 + d2 \cdot h_4
\]

Подставим это равенство в наше уравнение:

\[
(a + b) \cdot h = (a \cdot h_1 + b \cdot h_2) + (d1 \cdot h_3 + d2 \cdot h_4) = (d1 \cdot h_3 + d2 \cdot h_4) + (d1 \cdot h_3 + d2 \cdot h_4) = 2 \cdot (d1 \cdot h_3 + d2 \cdot h_4)
\]

Теперь давайте поделим на \(2h\) обе части уравнения:

\[
\frac{{(a + b) \cdot h}}{2h} = \frac{{2 \cdot (d1 \cdot h_3 + d2 \cdot h_4)}}{2h}
\]

Упростим:

\[
\frac{{a + b}}{2} = \frac{{d1 \cdot h_3 + d2 \cdot h_4}}{h}
\]

Теперь, заметим, что \(d1 \cdot h_3 + d2 \cdot h_4\) - это площадь треугольника, образованного диагоналями и высотой. Тогда мы можем записать:

\[
\frac{{a + b}}{2} = \frac{{S_{\text{треугольника}}}}{h}
\]

Поэтому, сумма оснований трапеции действительно равна произведению диагоналей, деленному на двойную высоту, при условии, что диагонали пересекаются под прямым углом.

Задача 2 доказана.