1) В трапеции PQRS с основаниями PS и QR точка M является точкой пересечения диагоналей трапеции, и соотношение QM:MS

Хорошо, давайте решим каждую задачу по очереди.

1) Дана трапеция PQRS с основаниями PS и QR. Пусть точка M - точка пересечения диагоналей трапеции. Известно, что соотношение QM:MS равно 13:19.

Мы можем заметить, что треугольник PQM и треугольник QMR имеют общую высоту, поскольку высота проведена из вершины Q. Они также лежат на одной основе QR. Следовательно, отношение площадей этих треугольников будет равно отношению их высот:

\(\frac{{\text{{Площадь }} \triangle PQS}}{{\text{{Площадь }} \triangle PQR}} = \frac{{\text{{Высота }} \triangle PQM}}{{\text{{Высота }} \triangle QMR}}\)

Так как точка M - точка пересечения диагоналей трапеции, эти высоты равны между собой. Поэтому получаем:

\(\frac{{\text{{Площадь }} \triangle PQS}}{{\text{{Площадь }} \triangle PQR}} = \frac{{\text{{Высота }} \triangle PQM}}{{\text{{Высота }} \triangle QMR}} = 1\)

Ответ: Отношение площадей треугольников PQS и PQR равно 1.

2) Пусть больший треугольник имеет площадь S, а меньший треугольник имеет площадь s. Задано, что соответствующие стороны этих треугольников имеют отношение 7:3, и разность их площадей равна 80 см².

Согласно свойству подобных треугольников, отношение площадей равно квадрату отношения длин соответствующих сторон:

\(\frac{S}{s} = \left(\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{49}{9}\)

Также известно, что разность площадей равна 80 см²:

S - s = 80

Теперь можем решить эту систему уравнений. Разделим оба уравнения на s:

\(\frac{S}{s} - \frac{s}{s} = \frac{49}{9} - 1\)

\(\frac{S}{s} - 1 = \frac{40}{9}\)

Подставим значение отношения площадей:

\(\frac{49}{9} - 1 = \frac{40}{9}\)

Теперь умножим обе части уравнения на s:

\(\frac{40}{9} \cdot s = 80\)

Умножаем обе части на 9/40:

\(s = 180\)

Таким образом, меньший треугольник имеет площадь s = 180 см².

Чтобы найти площадь большего треугольника, мы можем использовать одно из двух методов:

- Мы знаем, что отношение площадей треугольников равно 49/9, поэтому площадь большего треугольника будет:

\(S = \frac{49}{9} \cdot s = \frac{49}{9} \cdot 180\)

- Мы также можем найти площадь большего треугольника, используя разность площадей:

\(S = s + 80 = 180 + 80\)

Выберем первый метод:

\(S = \frac{49}{9} \cdot 180\)

Вычисляем:

\(S = 980\)

Ответ: Площадь большего треугольника равна 980 см².

3) В треугольнике PQS угол PQS равен углу QTR, который равен 90 градусов. Даны значения PT = 21,6 см, RT = 38,4 см, и QT является высотой. Найдем периметр треугольника.

Поскольку угол QTR равен 90 градусов, мы знаем, что треугольник QTR - прямоугольный треугольник.

Используя теорему Пифагора в треугольнике QTR, мы можем найти длину стороны QT:

\(QT^2 = QT^2 = QT^2 = QR^2 - RT^2 = (PQ - PR)^2 - RT^2\)

Используя данную информацию о сторонах:

\(QT^2 = (PQ - PR)^2 - RT^2 = (21,6 - 38,4)^2 - 38,4^2\)

Рассчитаем это значение:

\(QT^2 = (-16,8)^2 - 38,4^2\)

\(QT \approx 31,808\)

Теперь, чтобы найти периметр треугольника PQS, мы должны сложить длины всех его сторон:

Периметр = PQ + QS + PS

PQ = QR + RP (это свойство трапеции)

PQ = RT + PT (так как PQ и RT - диагонали трапеции)

Рассчитаем:

PQ = RT + PT = 38,4 + 21,6

PQ = 60

Теперь найдем QS и PS:

QS = QT + TS (TS - это катет равнобедренного прямоугольного треугольника QTS)

QS = QT + TS = 31,808 + TS

PS = QT + TS = 31,808 + TS

Так как QS и PS - это стороны треугольника PQS, и они имеют одинаковые значения, мы можем объединить их:

QS + PS = 31,808 + TS + 31,808 + TS

2(QS + PS) = 63,616 + 2TS (уравнение 1)

Мы также знаем, что квадрат QT равен разности квадратов сторон PQ и PR, и квадрат TS равен квадрату катета равнобедренного прямоугольного треугольника TQS:

QT^2 = (PQ - PR)^2

TS^2 = PT^2 - QT^2

Подставим значение QT^2:

TS^2 = PT^2 - (21,6 - 38,4)^2 (уравнение 2)

Теперь можем сложить уравнение 1 и уравнение 2:

2(QS + PS) + TS^2 = 63,616 + 2TS + PT^2 - (21,6 - 38,4)^2

Раскрываем скобки:

2(QS + PS) + TS^2 = 63,616 + 2TS + PT^2 - 16,8^2

2(QS + PS) + TS^2 = 63,616 + 2TS + PT^2 - 282,24

2(QS + PS) + TS^2 = 2TS + PT^2 - 218,624

Отбросим одинаковые слагаемые 2TS:

2(QS + PS) = PT^2 - 218,624

QS + PS = \(\frac{{PT^2 - 218,624}}{2}\)

Подставим известные значения:

QS + PS = \(\frac{{21,6^2 - 218,624}}{2}\)

Вычисляем:

QS + PS ≈ 151,136

Периметр = PQ + QS + PS = 60 + 151,136

Периметр ≈ 211,136

Ответ: Периметр треугольника PQS примерно равен 211,136 см.