1. В скольких разных вариантах можно соединить данные 4 точки ломаными линиями из двух звеньев? 2. Какое количество

1. Для того чтобы соединить данные 4 точки ломаными линиями из двух звеньев, рассмотрим возможные варианты.

Первое звено может быть проведено между любыми двумя точками из 4 имеющихся. Таким образом, мы можем выбрать первое звено из 4 возможных пар точек.

После проведения первого звена у нас остаются 3 точки. Второе звено должно быть проведено между двумя оставшимися точками. Количество возможных вариантов второго звена равно \(C(3, 2) = \frac{3!}{2! \cdot (3-2)!} = 3\) (где \(C\) - это число сочетаний).

Таким образом, общее количество различных вариантов соединений 4 точек ломаными линиями из двух звеньев составляет \(4 \cdot 3 = 12\) вариантов.

2. Для создания незамкнутой ломаной линии из трех звеньев с использованием данных 4 точек, нужно выбрать 3 точки из 4 имеющихся. Это можно сделать \(C(4, 3) = \frac{4!}{3! \cdot (4-3)!} = 4\) способами.

3. Чтобы построить замкнутую ломаную линию из трех звеньев с вершинами в данных 4 точках, не пересекающихся между собой, рассмотрим возможные варианты.

В любой замкнутой ломаной линии из трех звеньев первое и третье звено соединены. Таким образом, для построения такой линии, нам нужно выбрать, какие две точки будут соединены первым и третьим звеньями.

Это можно сделать \(C(4, 2) = \frac{4!}{2! \cdot (4-2)!} = 6\) способами.

Однако, некоторые из этих линий будут пересекать себя. Поэтому нам нужно удалить все пересекающиеся линии из общего числа. Тут нам поможет принцип включений-исключений.

Число замкнутых ломаных линий, пересекающихся между собой, будет равно общему числу замкнутых линий минус число линий, которые пересекаются хотя бы в одной точке.

Общее число замкнутых ломаных линий составляет 6.

Теперь рассмотрим пары точек и подсчитаем число линий, которые пересекаются хотя бы в одной точке:

- Пара точек A и B: есть 2 линии (ABCD и ACBD).
- Пара точек A и C: есть 1 линия (ABCD).
- Пара точек A и D: есть 2 линии (ABCD и ACBD).
- Пара точек B и C: есть 1 линия (ABCD).
- Пара точек B и D: есть 2 линии (ABCD и ACBD).
- Пара точек C и D: есть 1 линия (ABCD).

Таким образом, всего получается 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 9 линий, которые пересекаются хотя бы в одной точке.

Используя принцип включений-исключений, число замкнутых ломаных линий, не пересекающихся между собой, будет равно 6 - 9 = -3.

Однако, в данном случае число получилось отрицательным, что не имеет физического смысла. Это означает, что нет замкнутых ломаных линий из трех звеньев с вершинами в данных 4 точках, которые не пересекаются между собой.

4. Для построения замкнутых ломаных линий из четырех звеньев с использованием данных 4 точек, рассмотрим возможные варианты.

Всего у нас есть 4 точки, и нам нужно соединить их ломаными линиями из 4 звеньев.

Первое звено может быть проведено между любыми двумя точками из 4 имеющихся. Таким образом, мы можем выбрать первое звено из 4 возможных пар точек.

После проведения первого звена у нас остаются 3 точки. Второе звено должно быть проведено между двумя оставшимися точками. Количество возможных вариантов второго звена равно \(C(3, 2) = \frac{3!}{2! \cdot (3-2)!} = 3\).

После проведения первых двух звеньев остается 2 точки. Третье звено должно быть проведено между этими двумя точками. Количество возможных вариантов третьего звена равно \(C(2, 2) = \frac{2!}{2! \cdot (2-2)!} = 1\).

Таким образом, общее количество различных вариантов замкнутых ломаных линий из четырех звеньев с использованием данных 4 точек составляет \(4 \cdot 3 \cdot 1 = 12\) вариантов.