1) В равнобедренном треугольнике боковая сторона имеет размер, который в 5 раз больше основания. Каков размер боковой

Решим каждую задачу по порядку.

1) Для начала, обозначим основание равнобедренного треугольника как \(x\), а боковую сторону - как \(5x\).
Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. В данном случае, периметр равен 181,5 см, поэтому у нас получается уравнение:

\[x + 5x + 5x = 181.5\]

Складываем все части уравнения и упрощаем:

\[11x = 181.5\]

Избавляемся от коэффициента 11, деля обе части уравнения на 11:

\[x = \frac{181.5}{11}\]

Вычислим \(x\):

\[x \approx 16.5\]

Теперь, чтобы найти размер боковой стороны треугольника, умножим \(x\) на 5:

\[5x = 5 \cdot 16.5\]

\[5x = 82.5\]

Ответ: размер боковой стороны треугольника составляет 82,5 см.

2) В этой задаче нам также дана информация о равнобедренном треугольнике. Основание обозначим как \(AC\), а высоту \(BE\). Также известны значения: \(AE = 6\) см и \(\angle ABE = 280\).
Мы можем заметить, что треугольник \(ABE\) - прямоугольный треугольник, так как \(AE\) является высотой, и \(\angle ABE\) равен \(90\) градусам.
Также, так как треугольник равнобедренный, то угол \(\angle ABC\) будет равным углу \(\angle ACB\).
Наконец, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника \(ABE\), мы можем найти значение \(AC\).

Вычислим гипотенузу треугольника \(ABE\) с использованием теоремы Пифагора:

\[\text{гипотенуза } AB = \sqrt{AE^2 + BE^2}\]
\[\text{гипотенуза } AB = \sqrt{6^2 + x^2}\]

Учитывая, что \(AB = AC\), получим:

\[AC = \sqrt{6^2 + x^2}\]

Так как треугольник равнобедренный, угол \(\angle ABC = \angle ACB\). Обозначим этот угол как \(y\). Тогда получим:

\[2y + 90 = 180\]
\[2y = 90\]
\[y = \frac{90}{2}\]
\[y = 45\]

Ответ: Величина угла ABC равна 45 градусам.

3) В этой задаче мы также имеем равнобедренный треугольник с основанием \(BC\). Медиана \(AM\) равна 12,5 см, а периметр треугольника \(ABM\) равен 42,7 см.
Мы можем использовать информацию о равностороннем треугольнике \(ABM\) для нахождения значений его сторон и затем использовать эти значения для нахождения периметра треугольника \(ABC\).

Так как треугольник \(ABM\) равнобедренный, то его стороны \(AB\) и \(BM\) равны:

\[AB = BM\]

Пусть \(AB = BM = a\). Тогда периметр треугольника \(ABM\) будет:

\[2a + a = 42.7\]

Упрощаем уравнение:

\[3a = 42.7\]

Решаем уравнение для \(a\):

\[a = \frac{42.7}{3}\]

\[a \approx 14.23\]

Теперь у нас есть значение \(a\), но нам нужно найти периметр треугольника \(ABC\). Учитывая, что периметр - это сумма всех трех сторон треугольника, можно записать следующее уравнение:

\[Perimeter_{ABC} = a + a + BC\]

Так как треугольник равнобедренный, то \(BC = 2a\).

Подставим значения и упростим уравнение:

\[Perimeter_{ABC} = 2a + 2a\]

\[Perimeter_{ABC} = 4a\]

\[Perimeter_{ABC} = 4 \cdot 14.23\]

\[Perimeter_{ABC} \approx 56.92\]

Ответ: Периметр треугольника \(ABC\) равен примерно 56.92 см.