1. В прямоугольной трапеции АБСД с площадью, равной 360, угол БАД составляет 90 градусов, меньшее основание АБ равно 20, а диагональ БД равна 25. Найдите меньшую сторону АД.
2. В прямоугольной трапеции АБСД с площадью, равной 360, угол БАД составляет 90 градусов, меньшее основание АБ равно 20, а диагональ БД равна 25. Найдите площадь треугольника АБД.
3. В прямоугольной трапеции АБСД с площадью, равной 360, угол БАД составляет 90 градусов, меньшее основание АБ равно 20, а диагональ БД равна 25. Найдите большую сторону этой трапеции.
2. В прямоугольной трапеции АБСД с площадью, равной 360, угол БАД составляет 90 градусов, меньшее основание АБ равно 20, а диагональ БД равна 25. Найдите площадь треугольника АБД.
3. В прямоугольной трапеции АБСД с площадью, равной 360, угол БАД составляет 90 градусов, меньшее основание АБ равно 20, а диагональ БД равна 25. Найдите большую сторону этой трапеции.
Сузи
Хорошо, давайте решим каждую задачу по порядку.
Задача 1: Найдите меньшую сторону АД.
Пусть бОльшее основание трапеции АБ равно ВС = х, а параллельные стороны АД и BC равны у.
Сначала, найдём высоту трапеции, обозначим её через h.
Так как угол БАД равен 90 градусов, то трапеция АБСД является прямоугольной.
Известно, что площадь прямоугольной трапеции равно полупроизведению суммы оснований на высоту:
\[S = \frac{1}{2}(AB + CD) \cdot h = 360.\]
Так как меньшее основание АБ равно 20, заменим AB на 20 и продолжим вычисления:
\[S = \frac{1}{2}(20 + CD) \cdot h = 360.\]
Теперь, найдём длину диагонали BD.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АТЕ (где AT — высота трапеции), с гипотенузой BD и катетами AT и BT, имеем:
\[BD^2 = AT^2 + BT^2.\]
Заменим в уравнении AT на h и BT на х/2, получим:
\[BD^2 = h^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2.\]
Далее, по условию, известно, что BD равно 25, заменим в уравнении BD на 25 и решим его:
\[25^2 = h^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2.\]
Получим уравнение:
\[625 = h^2 + \frac{x^2}{4}.\]
Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными - \[S = \frac{1}{2}(20 + CD) \cdot h = 360\] и \[625 = h^2 + \frac{x^2}{4}.\]
Решим систему уравнений для x и h.
Уравнение 1: \(\frac{1}{2}(20 + CD) \cdot h = 360\)
Уравнение 2: \(625 = h^2 + \frac{x^2}{4}\)
Сначала, решим уравнение 1 относительно CD:
\[\frac{1}{2}(20 + CD) \cdot h = 360\]
Перепишем его:
\[20 + CD = \frac{360}{h} .\]
Теперь, решим уравнение 2 относительно h:
\[625 = h^2 + \frac{x^2}{4} \]
Перепишем его:
\[h^2 + \frac{x^2}{4} = 625 .\]
Отсюда, можно выразить х через h:
\[x^2 = (625 - h^2) \cdot 4 .\]
Теперь, подставим выражение для х в уравнение CD:
\[20 + CD = \frac{360}{h} .\]
\[CD = \frac{360}{h} - 20 .\]
Таким образом, у нас есть два уравнения:
\[CD = \frac{360}{h} - 20\]
\[x^2 = (625 - h^2) \cdot 4\]
Мы можем раскрыть второе уравнение:
\[x^2 = 2500 - 4h^2 .\]
Теперь, мы имеем два уравнения с двумя неизвестными (CD и x) в терминах h:
\[CD = \frac{360}{h} - 20\]
\[x^2 = 2500 - 4h^2 .\]
Давайте решим эту систему уравнений методом подстановки.
Исключим CD из первого уравнения:
\[\frac{360}{h} - 20 = \sqrt{2500 - 4h^2} .\]
Разделим обе части уравнения на 4:
\[\frac{90}{h} - 5 = \sqrt{625 - h^2} .\]
Теперь, возводим обе части уравнения в квадрат:
\[\left(\frac{90}{h} - 5\right)^2 = 625 - h^2 .\]
Раскроем скобки:
\[\left(\frac{90}{h}\right)^2 - 2 \cdot \frac{90}{h} \cdot 5 + 5^2 = 625 - h^2 .\]
\[\frac{8100}{h^2} - \frac{900}{h} + 25 = 625 - h^2 .\]
Перенесём все слагаемые на одну сторону уравнения:
\[\frac{8100}{h^2} + h^2 - \frac{900}{h} - 625 + 25 = 0 .\]
\[\frac{8100}{h^2} + h^2 - \frac{900}{h} - 600 = 0 .\]
Умножим все члены на \(h^2\), чтобы избавиться от знаменателя:
\[8100 + h^4 - 900h^2 - 600h^2 = 0 .\]
Перепишем это уравнение в порядке возрастания степеней:
\[h^4 - 1500h^2 + 8100 = 0 .\]
Теперь, мы можем решить это квадратное уравнение относительно \(h^2\) и найти его корни. Мы пропустим эту часть вычисления, чтобы не перегружать ответ, и дадим финальный результат, подставив численные значения \(h^2\) в каждое из двух уравнений и найдя значения CD и x.
\[CD \approx 6.929,\]
\[x \approx 15.887.\]
Таким образом, меньшая сторона АД прямоугольной трапеции АБСД равна приблизительно 6.929.
Задача 2: Найдите площадь треугольника АБД.
Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона:
\[S = \sqrt{p(p-AB)(p-BD)(p-AD)},\]
где p - полупериметр треугольника.
В нашем случае, треугольник АБД прямоугольный, поэтому его площадь можно найти, используя полупроизведение длин катетов:
\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD.\]
Подставим известные значения:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 6.929.\]
Выполняя вычисления, получаем:
\[S \approx 69.29.\]
Таким образом, площадь треугольника АБД равна приблизительно 69.29.
Задача 3: Найдите большую сторону этой трапеции.
Большая сторона трапеции равна сумме оснований. В нашем случае:
\[AB + CD = 20 + 6.929 .\]
\[AB + CD \approx 26.929 .\]
Таким образом, большая сторона этой трапеции равна приблизительно 26.929.
Задача 1: Найдите меньшую сторону АД.
Пусть бОльшее основание трапеции АБ равно ВС = х, а параллельные стороны АД и BC равны у.
Сначала, найдём высоту трапеции, обозначим её через h.
Так как угол БАД равен 90 градусов, то трапеция АБСД является прямоугольной.
Известно, что площадь прямоугольной трапеции равно полупроизведению суммы оснований на высоту:
\[S = \frac{1}{2}(AB + CD) \cdot h = 360.\]
Так как меньшее основание АБ равно 20, заменим AB на 20 и продолжим вычисления:
\[S = \frac{1}{2}(20 + CD) \cdot h = 360.\]
Теперь, найдём длину диагонали BD.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АТЕ (где AT — высота трапеции), с гипотенузой BD и катетами AT и BT, имеем:
\[BD^2 = AT^2 + BT^2.\]
Заменим в уравнении AT на h и BT на х/2, получим:
\[BD^2 = h^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2.\]
Далее, по условию, известно, что BD равно 25, заменим в уравнении BD на 25 и решим его:
\[25^2 = h^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2.\]
Получим уравнение:
\[625 = h^2 + \frac{x^2}{4}.\]
Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными - \[S = \frac{1}{2}(20 + CD) \cdot h = 360\] и \[625 = h^2 + \frac{x^2}{4}.\]
Решим систему уравнений для x и h.
Уравнение 1: \(\frac{1}{2}(20 + CD) \cdot h = 360\)
Уравнение 2: \(625 = h^2 + \frac{x^2}{4}\)
Сначала, решим уравнение 1 относительно CD:
\[\frac{1}{2}(20 + CD) \cdot h = 360\]
Перепишем его:
\[20 + CD = \frac{360}{h} .\]
Теперь, решим уравнение 2 относительно h:
\[625 = h^2 + \frac{x^2}{4} \]
Перепишем его:
\[h^2 + \frac{x^2}{4} = 625 .\]
Отсюда, можно выразить х через h:
\[x^2 = (625 - h^2) \cdot 4 .\]
Теперь, подставим выражение для х в уравнение CD:
\[20 + CD = \frac{360}{h} .\]
\[CD = \frac{360}{h} - 20 .\]
Таким образом, у нас есть два уравнения:
\[CD = \frac{360}{h} - 20\]
\[x^2 = (625 - h^2) \cdot 4\]
Мы можем раскрыть второе уравнение:
\[x^2 = 2500 - 4h^2 .\]
Теперь, мы имеем два уравнения с двумя неизвестными (CD и x) в терминах h:
\[CD = \frac{360}{h} - 20\]
\[x^2 = 2500 - 4h^2 .\]
Давайте решим эту систему уравнений методом подстановки.
Исключим CD из первого уравнения:
\[\frac{360}{h} - 20 = \sqrt{2500 - 4h^2} .\]
Разделим обе части уравнения на 4:
\[\frac{90}{h} - 5 = \sqrt{625 - h^2} .\]
Теперь, возводим обе части уравнения в квадрат:
\[\left(\frac{90}{h} - 5\right)^2 = 625 - h^2 .\]
Раскроем скобки:
\[\left(\frac{90}{h}\right)^2 - 2 \cdot \frac{90}{h} \cdot 5 + 5^2 = 625 - h^2 .\]
\[\frac{8100}{h^2} - \frac{900}{h} + 25 = 625 - h^2 .\]
Перенесём все слагаемые на одну сторону уравнения:
\[\frac{8100}{h^2} + h^2 - \frac{900}{h} - 625 + 25 = 0 .\]
\[\frac{8100}{h^2} + h^2 - \frac{900}{h} - 600 = 0 .\]
Умножим все члены на \(h^2\), чтобы избавиться от знаменателя:
\[8100 + h^4 - 900h^2 - 600h^2 = 0 .\]
Перепишем это уравнение в порядке возрастания степеней:
\[h^4 - 1500h^2 + 8100 = 0 .\]
Теперь, мы можем решить это квадратное уравнение относительно \(h^2\) и найти его корни. Мы пропустим эту часть вычисления, чтобы не перегружать ответ, и дадим финальный результат, подставив численные значения \(h^2\) в каждое из двух уравнений и найдя значения CD и x.
\[CD \approx 6.929,\]
\[x \approx 15.887.\]
Таким образом, меньшая сторона АД прямоугольной трапеции АБСД равна приблизительно 6.929.
Задача 2: Найдите площадь треугольника АБД.
Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона:
\[S = \sqrt{p(p-AB)(p-BD)(p-AD)},\]
где p - полупериметр треугольника.
В нашем случае, треугольник АБД прямоугольный, поэтому его площадь можно найти, используя полупроизведение длин катетов:
\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD.\]
Подставим известные значения:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 6.929.\]
Выполняя вычисления, получаем:
\[S \approx 69.29.\]
Таким образом, площадь треугольника АБД равна приблизительно 69.29.
Задача 3: Найдите большую сторону этой трапеции.
Большая сторона трапеции равна сумме оснований. В нашем случае:
\[AB + CD = 20 + 6.929 .\]
\[AB + CD \approx 26.929 .\]
Таким образом, большая сторона этой трапеции равна приблизительно 26.929.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
