1. В проводе протекает переменный электрический ток. Уравнение, описывающее изменение заряда в зависимости от времени

Для определения, как меняется сила тока от времени, нам нужно взять производную функции изменения заряда \( q(t) \) по времени \( t \). После этого, мы сможем подставить \( t = 2 \) секунды, чтобы найти силу тока через 2 секунды после начала протекания тока в проводе.

Итак, начнем с взятия производной \( q(t) \) по времени:

\[ \frac{{dq(t)}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}} (At^5 + Bt^6) \]

Для нахождения производной функции суммы, мы можем взять производные внутренних слагаемых отдельно:

\[ \frac{{dq(t)}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}} (At^5) + \frac{{d}}{{dt}} (Bt^6) \]

Теперь применим правило о производной от произведения константы и степени \( t \):

\[ \frac{{dq(t)}}{{dt}} = 5At^4 + 6Bt^5 \]

Таким образом, дифференциальное уравнение, описывающее изменение силы тока от времени имеет вид:

\[ I(t) = 5At^4 + 6Bt^5 \]

Теперь давайте подставим \( t = 2 \) секунды, чтобы найти силу тока через 2 секунды после начала протекания тока в проводе:

\[ I(2) = 5A(2)^4 + 6B(2)^5 \]

Подставим значения \( A = 1 \, \text{C/s}^5 \) и \( B = 1 \, \text{C/s}^6 \):

\[ I(2) = 5(1)(2)^4 + 6(1)(2)^5 \]

Вычислим это:

\[ I(2) = 5 \cdot 1 \cdot 16 + 6 \cdot 1 \cdot 32 \]

\[ I(2) = 80 + 192 \]

\[ I(2) = 272 \, \text{C/s} \]

Таким образом, сила тока через 2 секунды после начала протекания тока в проводе равна \( 272 \, \text{C/s} \).