1. В правильной треугольной пирамиде DABC, где О - центр описанного шара, DO1 = 4 и DC = 5, каков радиус Rш?

Хорошо, вот подробные решения для каждой из задач:

1. Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора. Обратите внимание, что \( DC \) является гипотенузой прямоугольного треугольника \( DCO_1 \). Исходя из этого, мы можем записать следующее уравнение:

\[ DC^2 = DO_1^2 + CO_1^2 \]

Подставив известные значения, получим:

\[ 5^2 = 4^2 + CO_1^2 \]

Вычисляем:

\[ CO_1^2 = 25 - 16 = 9 \]
\[ CO_1 = 3 \]

Затем нам нужно найти высоту пирамиды \( OH \). В правильной треугольной пирамиде, центр описанного шара всегда совпадает с центром основания пирамиды. Поэтому \( OH \) является медианой треугольника \( DBC \) и делит его на две равные части.

Теперь мы имеем прямоугольный треугольник \( DOCO_1 \) с катетами \( DO_1 \) и \( CO_1 \), а также треугольник \( DOH \) с катетами \( DO_1 \) и \( OH \). Оба треугольника являются подобными.

Используя подобие треугольников, мы можем записать следующее:

\[ \frac{CO_1}{DO_1} = \frac{OH}{CO_1} \]

Подставляя значения, получим:

\[ \frac{3}{4} = \frac{OH}{3} \]

Умножаем обе части на 3:

\[ OH = \frac{9}{4} \]

Так как \( OH \) является медианой треугольника \( DBC \), то оно также является высотой пирамиды. Теперь мы можем рассчитать радиус описанного шара \( Rш \) при помощи теоремы Пифагора:

\[ Rш^2 = OH^2 + CO_1^2 \]

Подставляем известные значения:

\[ Rш^2 = \left(\frac{9}{4}\right)^2 + 3^2 \]

Вычисляем:

\[ Rш^2 = \frac{81}{16} + 9 = \frac{81}{16} + \frac{144}{16} = \frac{225}{16} \]

Извлекаем квадратный корень:

\[ Rш = \frac{15}{4} \]

Ответ: радиус описанного шара \( Rш = \frac{15}{4} \).

2. Радиус \( Rш \) для основания \( B_1D \) можно рассчитать, используя радиус описанного шара. В правильной четырехугольной призме, основание является кругом, вписанным в шар.

Из предыдущей задачи мы знаем, что радиус описанного шара \( Rш = \frac{15}{4} \). Формула для радиуса вписанного шара в прямой призме равна половине радиуса описанного шара. Поэтому, радиус \( Rш \) для основания \( B_1D \) будет:

\[ Rш = \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4} = \frac{15}{8} \]

Ответ: радиус \( Rш \) для основания \( B_1D = \frac{15}{8} \).

3. Чтобы найти площадь поверхности \( SBOD \), нам нужно вычислить сумму площадей всех его поверхностей.

Пирамида \( SBOD \) состоит из треугольника \( SOD \), треугольника \( SDB \) и треугольника \( SBO_1 \). Для нахождения площади каждого из этих треугольников мы можем использовать формулу Герона.

Для треугольника \( SOD \):

\[ S_{SOD} = \sqrt{s \cdot (s - SD) \cdot (s - SO) \cdot (s - DO)} \]

Где \( s \) - полупериметр треугольника \( SOD \), \( SD \) - сторона треугольника \( SOD \), \( SO \) - сторона треугольника \( SOD \), \( DO \) - сторона треугольника \( SOD \).

Аналогично, мы можем найти площадь треугольника \( SDB \) и треугольника \( SBO_1 \).

После вычисления площадей трех треугольников, мы складываем их:

\[ S_{SBOD} = S_{SOD} + S_{SDB} + S_{SBO_1} \]

Таким образом, мы получаем площадь поверхности \( SBOD \).

4. Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника \( ABC \), мы можем использовать следующую формулу:

\[ R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot S} \]

Где \( a, b, c \) - стороны треугольника \( ABC \), а \( S \) - площадь треугольника \( ABC \).

В этой задаче, треугольник \( ABC \) является прямоугольным, поэтому мы можем использовать длины сторон треугольника, чтобы вычислить радиус \( R \).

Подставляем известные значения в формулу:

\[ R = \frac{10 \cdot 6 \cdot 8}{4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6} = \frac{480}{120} = 4 \]

Ответ: радиус окружности, описанной вокруг треугольника \( ABC \), равен 4.

Надеюсь, эти подробные решения помогут вам понять задачи лучше. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!