1) В параллелограмме ABCD угол А равен 45 градусов, сторона AB равна 3√2, а сторона BC равна 5. Найдите скалярное

Для начала, давайте рассмотрим основные понятия, которые понадобятся для решения данной задачи.

Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение их длин на косинус угла между ними. Обозначается так: \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).

У нас есть параллелограмм ABCD, у которого угол А равен 45 градусов, сторона AB равна \(3\sqrt{2}\), а сторона BC равна 5.

Для начала, найдем векторы AB и AD. Вектор AB будет равен вектору AD, так как они соответствуют противоположным сторонам параллелограмма. Поэтому \(\vec{AB} = \vec{AD}\).

Теперь, чтобы найти скалярное произведение векторов AB и AD, нам нужно найти их длины. Длина вектора вычисляется с помощью формулы длины вектора \(\|\vec{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\), где \(v_x\) и \(v_y\) - компоненты вектора. Обратите внимание, что вектор AB имеет только горизонтальную составляющую, а вектор AD только вертикальную.

Для вектора AB:
\(|\vec{AB}| = \|\vec{AD}|\), и так как мы знаем, что сторона AB равна \(3\sqrt{2}\), то \(|\vec{AB}| = 3\sqrt{2}\).

Для вектора AD мы знаем, что сторона AB равна \(3\sqrt{2}\), а угол А равен 45 градусов. Это означает, что горизонтальная составляющая вектора AD равна \(|\vec{AD}_x| = |\vec{AB}| \cdot \cos 45^\circ = 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 3\).

Теперь у нас есть все данные для вычисления скалярного произведения векторов AB и AD. Мы умножаем их длины на косинус угла между ними:

\(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos \theta = 3\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \cos 0^\circ = 9\sqrt{2} \cdot 1 = 9\sqrt{2}\).

Таким образом, скалярное произведение векторов AB и AD равно \(9\sqrt{2}\).

Теперь продолжим с векторами BA и BC.

Так как угол A равен 45 градусов, то угол B равен \(180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\). Значит, вектор BA будет направлен в противоположную сторону по отношению к вектору AB, но будет иметь такую же длину.

Теперь мы можем применить аналогичный подход, чтобы найти длину вектора BA и скалярное произведение векторов BA и BC.

Длина вектора BA будет равна длине вектора AB, то есть \(3\sqrt{2}\).

Теперь нужно найти длину вектора BC. Мы знаем, что BC равно 5, поэтому его длина будет \(|\vec{BC}| = 5\).

Наконец, мы можем вычислить скалярное произведение векторов BA и BC:

\(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos \theta = 3\sqrt{2} \cdot 5 \cdot \cos 135^\circ\).

Подставляя значения, получим:

\(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 3\sqrt{2} \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -15\).

Таким образом, скалярное произведение векторов BA и BC равно -15.

Далее рассмотрим скалярное произведение векторов AD и AC.

Мы знаем, что вектор AD равен вектору AB, а вектор AC является диагональю параллелограмма. Давайте найдем его длину.

Строим прямую AC и выделяем прямоугольный треугольник BAC. Вектор BA будет являться одной из его сторон, поэтому его длина равна \(3\sqrt{2}\).

Известно также, что угол B равен 135 градусов. Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусам, то угол С будет равен \(180^\circ - 45^\circ - 135^\circ = 0^\circ\). Это означает, что вектор AC будет горизонтальным.

Таким образом, длина вектора AC будет равна длине вектора BA, то есть \(3\sqrt{2}\).

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение векторов AD и AC:

\(\vec{AD} \cdot \vec{AC} = |\vec{AD}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos \theta = 3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos 0^\circ = 18\).

Таким образом, скалярное произведение векторов AD и AC равно 18.

Надеюсь, что объяснение было понятным и подробным. Если у вас все еще остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!