1) В окружности с центром O, угол AOC равен 80 градусов, а отношение угла C к углу A составляет 3:4. Найдите угловую

Давайте решим задачу по порядку.

1) Для нахождения угловой меры дуги AB нам нужно знать, сколько градусов составляет угол в центре, открываемый этой дугой. Зная, что угол AOC равен 80 градусов, мы можем найти угол в центре, удваивая его: \( \angle AOB = 2 \cdot \angle AOC = 2 \cdot 80° = 160° \). Теперь у нас есть угол в центре, открываемый дугой AB, и мы можем найти угловую меру этой дуги.

Рассмотрим отношение угла C к углу A. Пусть угол C равен \( 3x \) градусов, а угол A равен \( 4x \) градусов. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, мы можем записать уравнение:
\( 4x + 3x + 80 = 180 \).
Решим это уравнение:
\( 7x + 80 = 180 \),
\( 7x = 100 \),
\( x = \frac{100}{7} \).

Теперь, зная значение \( x \), мы можем найти угловую меру дуги AC:
\( \angle ACB = 4x = 4 \cdot \frac{100}{7} = \frac{400}{7} \) градусов.

Аналогично, угловая мера дуги BC равна:
\( \angle BOC = 3x = 3 \cdot \frac{100}{7} = \frac{300}{7} \) градусов.

2) Чтобы найти соотношение, в котором точка E делит отрезок CD, мы можем использовать теорему о пересекающихся хордах. Если точка E делит хорду AB соотношением m:n, то \( AE \cdot EB = CE \cdot ED \).

Исходя из условия, мы знаем, что AE равно 8 см, BE равно 6 см и CD равно 16 см. Подставим эти значения в уравнение:
\( 8 \cdot 6 = CE \cdot 16 \),
\( 48 = 16CE \).
Разделим обе части уравнения на 16:
\( CE = \frac{48}{16} = 3 \) см.

Таким образом, точка E делит отрезок CD в соотношении 3:1.