1. В кубе abcda1b1c1d1 задана точка к, являющаяся серединой ребра c1d1.а) Верифицируйте утверждение, что расстояние

Решение задачи:
а) Чтобы верифицировать утверждение, что расстояние от вершины а1 до прямой bk равно длине ребра куба, нам нужно рассмотреть геометрические свойства куба и использовать их для доказательства.

Обратимся к рисунку, где точка K - середина ребра C1D1:

\[
\begin{array}{cccc}
& & \text{A} &\longrightarrow \text{a} \\
& &(Cube) &\longleftarrow\\
&\nearrow & & \text{c}\\
\text{B} &\longleftarrow & \text{k} & \rightarrow \text{C}\\
&\searrow & & \text{b}\\
& &(Plane) &\longrightarrow
\end{array}
\]

Заметим, что в кубе все ребра имеют одинаковую длину, обозначим её \(l\).

Для начала, найдем длину отрезка А1К. Так как точка К является серединой ребра C1D1, то длина отрезка CK равна половине длины ребра:

\[CK = \frac{l}{2}\]

Также, отрезок А1К параллелен плоскости BCC1, поэтому А1К перпендикулярен отрезку BC. Для нахождения расстояния от точки А1 до прямой BK, нам нужно найти расстояние от точки А1 до плоскости BCC1.

Теперь рассмотрим треугольник А1КС, где С - вершина общая для треугольника и куба.

Треугольник А1КС является равнобедренным, так как у него две равные стороны: А1К и КС (КС = CK = \frac{l}{2}).

Для нахождения расстояния от точки А1 до плоскости BCC1, мы можем использовать формулу для расстояния между точкой и плоскостью, которая выглядит следующим образом:

\[d = \frac{| Ax + By + Cz + D |}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

Так как плоскость BCC1 проходит через точки B, C и C1, мы можем записать уравнение плоскости в общем виде Ax + By + Cz + D = 0, подставив точку B(0, 0, 0) и вектор нормали к плоскости \vec{v} = \vec{BC} \times \vec{CC1}.

Применяя эту формулу, получаем:

\[d = \frac{|A1 \cdot a_x + A1 \cdot a_y + A1 \cdot a_z + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

где (a_x, a_y, a_z) - координаты вершины A1, D - коэффициент смещения плоскости BCC1, который можно найти подставив координаты точки C в уравнение плоскости.

Теперь мы можем продолжить решение и вычислить расстояние от точки А1 до прямой BK используя найденное расстояние, найденное расстояние от точки А1 до плоскости BCC1 и известную длину ребра куба \(l\).

б) Чтобы найти значение угла между плоскостью KBA1 и плоскостью BCC1, мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя плоскостями.

Угол \(\theta\) между плоскостью с нормальным вектором \(\vec{n_1}\) и плоскостью с нормальным вектором \(\vec{n_2}\) можно найти по формуле:

\[
\cos(\theta) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}
\]

где \(\cdot\) обозначает скалярное произведение векторов, а \(|\vec{n_1}|\) и \(|\vec{n_2}|\) - длины соответствующих векторов.

В нашем случае, нормальные векторы плоскостей KBA1 и BCC1 могут быть найдены как векторы, перпендикулярные плоскости, т.е. векторы, перпендикулярные любому из ребер каждой плоскости.

Итак, для плоскости KBA1 нормальный вектор можно найти как векторное произведение векторов \(\vec{KB}\) и \(\vec{KA1}\), а для плоскости BCC1 - как векторное произведение векторов \(\vec{BC}\) и \(\vec{CC1}\).

После вычисления нормальных векторов, мы можем применить формулу для нахождения угла \(\theta\) между плоскостями KBA1 и BCC1.

Надеюсь, эти объяснения помогут вам понять решение и значения угла, и расстояния в данной задаче. Я всегда готов помочь.