1. В какой ситуации считается, что последовательность задана? 2. Какие виды последовательностей вам известны?

1. Ситуация, когда последовательность считается заданной, возникает, когда каждому натуральному числу n сопоставлено определенное значение \(a_n\) (или несколько значений) в соответствии с определенными правилами или закономерностями. Иными словами, если у нас есть явное или неявное описание, определяющее каждый элемент последовательности для всех натуральных чисел.

2. В общем случае, последовательность - это упорядоченный набор чисел или объектов, в котором каждому натуральному числу сопоставлен элемент последовательности. Существует несколько видов последовательностей, вот некоторые из них:
- Арифметическая последовательность: каждый член последовательности получается путем добавления одной и той же постоянной разности к предыдущему члену.
- Геометрическая последовательность: каждый член последовательности получается путем умножения предыдущего члена на одну и ту же постоянную пропорцию.
- Квадратичная последовательность: каждый член последовательности получается путем подстановки значения n в квадратичную функцию \(an^2 + bn + c\) с постоянными коэффициентами a, b, c.
- Факториальная последовательность: каждый член последовательности представляет собой факториал от соответствующего натурального числа.
- Фибоначчиева последовательность: каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих членов (начиная с 0 и 1).

3. Для определения формулы \(a_n\) для n-го члена последовательности можно использовать различные методы, в зависимости от характера последовательности. Вот некоторые из них:
- Для арифметической последовательности, формула для \(a_n\) может быть определена с использованием разности между соседними членами: \(a_n = a_1 + (n-1)d\), где \(a_1\) - первый член последовательности, а d - разность.
- Для геометрической последовательности, формула для \(a_n\) может быть определена с использованием пропорции между соседними членами: \(a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\), где \(a_1\) - первый член последовательности, а r - пропорция.
- Для квадратичной последовательности, формула для \(a_n\) может быть определена путем подстановки значения n в квадратичную функцию \(an^2 + bn + c\) с постоянными коэффициентами a, b, c.
- Для других видов последовательностей, требуется анализ и понимание особенностей каждой конкретной последовательности для определения ее формулы \(a_n\).

4. Понятия "функция" и "последовательность" связаны между собой. Оба термина описывают зависимости между входными и выходными значениями. Основное различие между ними заключается в способе представления.
- Функция представляет собой соответствие между элементами двух множеств - входного множества (аргументов) и выходного множества (значений). В функции каждому элементу входного множества сопоставляется единственное значение в выходном множестве. Функции могут быть заданы аналитическим выражением, графиком, таблицей значений и так далее.
- Последовательность представляет собой упорядоченный набор элементов, в котором каждому натуральному числу сопоставлен элемент последовательности. Последовательности не обязательно имеют аналитическое выражение, их можно задавать рекуррентной формулой, описанием или таблицей значений.

5. Рекуррентная формула - это способ определения членов последовательности путем использования предыдущих членов. В общей форме, рекуррентная формула имеет вид: \(a_n = f(a_{n-1}, a_{n-2}, ..., a_{n-k})\), где \(f\) - функция или алгоритм, определяющий n-й член последовательности на основе предыдущих членов \(a_{n-1}, a_{n-2}, ..., a_{n-k}\).
Например, рекуррентная формула для чисел Фибоначчи может быть записана как: \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\), где первые два члена последовательности равны 0 и 1, и каждый следующий член является суммой двух предыдущих.
Рекуррентные формулы могут быть решены путем последовательного вычисления каждого члена последовательности, начиная с известных начальных значений.