1. В группе студентов, состоящей из 20 участников, где 14 из них - юноши, требуется определить вероятность того

Давайте начнем с первой задачи.

1. Для определения вероятности того, что из 6 случайно выбранных студентов будет ровно 3 девушки и 3 юноши, нам необходимо использовать комбинаторику и представить задачу в виде "извлечение без учета порядка".

В данной задаче всего у нас 20 студентов, из которых 14 - юноши, а оставшиеся 6 - девушки. Мы хотим извлечь по 3 юношей и 3 девушек.

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать сочетания. Формула для нахождения количества сочетаний из n элементов по k элементов выглядит следующим образом:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}
\]

где n! (n факториал) обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

В нашем случае, мы ищем количество сочетаний из 14 юношей по 3 юношей и из 6 девушек по 3 девушки. Используя формулу для сочетаний, мы можем вычислить оба значения:

\[
C(14, 3) = \frac{{14!}}{{3! \cdot (14-3)!}} = \frac{{14!}}{{3! \cdot 11!}} = \frac{{14 \cdot 13 \cdot 12}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 364
\]

\[
C(6, 3) = \frac{{6!}}{{3! \cdot (6-3)!}} = \frac{{6!}}{{3! \cdot 3!}} = \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 20
\]

Теперь, чтобы найти вероятность того, что из 6 студентов будет ровно 3 девушки и 3 юноши, нам необходимо разделить количество благоприятных исходов на общее количество исходов. Общее количество исходов - это количество сочетаний из 20 студентов по 6 студентов:

\[
C(20, 6) = \frac{{20!}}{{6! \cdot (20-6)!}} = \frac{{20!}}{{6! \cdot 14!}} = \frac{{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}}{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 38760
\]

Теперь мы можем вычислить вероятность:

\[
P = \frac{{\text{{количество благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее количество исходов}}}} = \frac{{C(14, 3) \cdot C(6, 3)}}{{C(20, 6)}} = \frac{{364 \cdot 20}}{{38760}} \approx 0.1872
\]

Таким образом, вероятность того, что из случайно выбранных 6 студентов будет ровно 3 девушки и 3 юноши, составляет примерно 0.1872 или около 18.72%.

Теперь перейдем ко второй задаче.

2. Нам дано 4 коробки с разными комбинациями синих и красных шаров. Мы хотим найти вероятность того, что случайно выбранный шар окажется из второй коробки, если известно, что он красный.

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать условную вероятность. Первоначально, есть 4 возможных комбинации синего и красного шаров, но мы знаем, что выбранный шар красный. Таким образом, из этих 4 комбинаций только 2 имеют красные шары - это первая и вторая коробка.

Чтобы вычислить вероятность, нам необходимо использовать формулу:

\[
P = \frac{{\text{{количество благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее количество исходов}}}}
\]

Общее количество исходов равно 4, так как у нас есть 4 коробки.

Количество благоприятных исходов - это количество красных шаров во второй коробке. Мы знаем, что во второй коробке 5 шаров, и все они либо синие, либо красные. Известно, что выбранный шар - красный, поэтому количество благоприятных исходов равно 4.

Теперь мы можем вычислить вероятность:

\[
P = \frac{{\text{{количество благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее количество исходов}}}} = \frac{4}{4} = 1
\]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный шар будет из второй коробки, если известно, что он красный, составляет 1 или 100%.

Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!