1. В данном случае имеется простой поток событий с интенсивностью в 15 событий в минуту. Необходимо найти: 1.1. Среднюю

Хорошо, рассмотрим задачу о потоке событий с интенсивностью в 15 событий в минуту. Чтобы найти среднюю продолжительность времени между последовательными событиями, мы можем использовать формулу для расчета среднего времени между событиями в потоке Пуассона \(T_{\text{ср}} = \frac{1}{\lambda}\), где \(\lambda\) - интенсивность событий в минуту.

Для данной задачи, интенсивность \(\lambda = 15\) событий в минуту. Подставив это значение в формулу, получим:

\[T_{\text{ср}} = \frac{1}{15} \approx 0.067 \text{ минуты}.\]

Таким образом, средняя продолжительность времени между последовательными событиями составляет примерно 0.067 минуты.

Теперь рассмотрим задачу о вероятности интервала времени между последовательными событиями, составляющем от 8 до 12 секунд. Для решения этой задачи нам понадобится знать, что распределение интервалов времени между событиями в потоке Пуассона является экспоненциальным распределением с параметром \(\lambda\).

Для нашей задачи параметр \(\lambda\) равен 15 событий в минуту, или \(\frac{15}{60}\) событий в секунду. Мы можем использовать следующую формулу для расчета вероятности интервала времени:

\[P(a \leq T \leq b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b},\]

где \(a\) и \(b\) - границы интервала времени, для которого нужно найти вероятность.

Подставим значения в формулу:

\[P(8 \leq T \leq 12) = e^{-\frac{15}{60} \cdot 8} - e^{-\frac{15}{60} \cdot 12}.\]

Произведем вычисления:

\[P(8 \leq T \leq 12) \approx 0.1587 - 0.0366 \approx 0.1221.\]

Таким образом, вероятность того, что интервал времени между последовательными событиями будет составлять от 8 до 12 секунд, примерно равна 0.1221 или около 12.21%.