1. В циліндрі проведено площину, паралельну його осі, яка відрізає дугу кола з мірою 2β. Січна площина перетинає основу

перерізу; д) площу перерізу; е) кут, який утворює діагональ перерізу з площиною основи.

Дана задача стосується геометрії циліндра. Давайте знайдемо всі запитані величини.

а) Для знаходження радіусу основи циліндра, нам необхідно скористатися властивостями площинного перерізу. Оскільки дуга кола має міру 2β, то це означає, що відповідний центральний кут кола становить 2β. Оскільки січна площина паралельна осі циліндра, то хорда, яку вона перетинає на основі, також дорівнює а. Згідно властивості геометрії кола, ми можемо записати наступну рівність: \(\angle COP = \frac{1}{2} \cdot \measuredangle COB = \angle COB\), де COP - промінь, почернізований на схемі. З останньої рівності випливає, що \(\angle COB = \angle COP = \frac{1}{2} \cdot 2\beta = \beta\). Тоді, за теоремою косинусів для трикутника COB, маємо:
\[a = 2r\cos{\beta}\]
Звідси виразимо радіус основи циліндра:
\[r = \frac{a}{2\cos{\beta}}\]

б) Площа основи циліндра обчислюється за формулою \(S = \pi r^2\). Використовуючи значення радіусу, яке ми знайшли у попередньому пункті, площу основи можна обчислити за формулою:
\[S = \pi \left(\frac{a}{2\cos{\beta}}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4\cos^2{\beta}}\]

в) Для знаходження висоти циліндра нам необхідно знати радіус його основи. Використовуючи властивості геометрії циліндра, ми можемо зобразити таку картину:

\[
\begin{array}{c}
| \\
| \quad \\
| \quad \quad \\
| \quad \quad \quad \\
| \quad \quad \quad \quad \\
| \quad \quad \quad \quad \quad \\
| \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
| \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
O-----------------R------------------O
\end{array}
\]

Де O - основи циліндра, R - точка, у якій проведена хорда, а v - висота циліндра. Згідно властивостей циліндра, пряма, яка ділить всі перпендикуляри, опущені з точок основи циліндра на ось, утворює прямокутний трикутник. Оскільки хорда є основою такого прямокутного трикутника, то ми можемо скористатися теоремою Піфагора:
\[v^2 = RO^2 - r^2\]

г) Для знаходження діагоналі осьового перетину циліндра нам потрібно з"ясувати, що ця діагональ є основою такого ж прямокутного трикутника, як у випадку з пунктом (в). Оскільки РО дорівнює радіусу циліндра R, а v - висоті циліндра, то за теоремою Піфагора, діагональ дорівнює:
\[d = \sqrt{RO^2 + v^2}\]

д) Площа перетину циліндра може бути обчислена, знаючи радіус основи циліндра та діагональ осьового перетину. Площа перетину може бути обчислена за формулою \(S_{\text{пер.}} = \pi \cdot r \cdot d\).

еЕ) Кут, який утворює діагональ перетину з площиною основи, можна обчислити за допомогою тригонометрії. Застосуємо теорему синусів до трикутника ОРС:
\[\sin{\alpha} = \frac{RO}{d}\]
Тоді кут, який утворює діагональ перетину з площиною основи, можна знайти, застосовуючи \(90^\circ - \alpha\).