1) В автобусе есть 20 мест. a) Какое количество пассажиров может занять только 3 из этих мест? б) Сколько пассажиров

Задача 1:

а) Чтобы ответить на вопрос, сколько пассажиров может занять только 3 из 20 мест в автобусе, нам необходимо вычислить количество комбинаций расположения пассажиров на этих трех местах. Давайте это сделаем.

В данном случае, нам нужно выбрать 3 места из 20. Для этого мы можем использовать формулу сочетания:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}
\]

где \(n\) - общее количество мест в автобусе (20 в данной задаче), а \(k\) - количество мест, которые мы хотим занять (в данном случае 3).

Подставляя значения в формулу, получим:

\[
C(20, 3) = \frac{{20!}}{{3! \cdot (20-3)!}} = \frac{{20!}}{{3! \cdot 17!}} = \frac{{20 \cdot 19 \cdot 18}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 20 \cdot 19 \cdot 6 = 2280
\]

Таким образом, количество пассажиров, которые могут занять только 3 из 20 мест, составляет 2280.

б) Теперь давайте посчитаем, сколько пассажиров могут быть посажены в автобусе, чтобы все 20 мест были заняты. В этом случае нам нужно выбрать 20 мест из 20, что просто означает, что необходимо учесть все возможные комбинации. Поэтому:

\[
C(20, 20) = \frac{{20!}}{{20! \cdot (20-20)!}} = \frac{{20!}}{{20! \cdot 0!}} = \frac{{20!}}{{20!}} = 1
\]

Таким образом, чтобы все 20 мест в автобусе были заняты, необходимо посадить 20 пассажиров.

Задача 2:

Для решения этой задачи нам необходимо узнать сколько всего вариантов размещения Саши и Коли в автобусе, чтобы они были соседями. Затем нужно вычислить общее количество вариантов размещения всех пассажиров в автобусе и найти отношение этих двух чисел, чтобы получить вероятность.

Поскольку Саша и Коля должны быть соседями, то есть только два варианта их размещения: Саша слева от Коли или Коля слева от Саши. В любом из этих случаев Саша и Коля занимают два соседних места.

Общее количество вариантов размещения всех пассажиров в автобусе можно вычислить, используя перестановку:

\[
P(n) = n!
\]

где \(n\) - общее количество пассажиров в автобусе (20 в данной задаче).

Таким образом, общее количество вариантов размещения всех пассажиров равно:

\[
P(20) = 20!
\]

Теперь мы можем вычислить вероятность того, что Саша и Коля окажутся соседями:

\[
P = \frac{{\text{{количество вариантов размещения Саши и Коли в соседних местах}}}}{{\text{{общее количество вариантов размещения всех пассажиров}}}}
\]

\[
P = \frac{2}{20!}
\]

Таким образом, вероятность того, что при случайном размещении в автобусе Саша и Коля окажутся соседями, равна \(\frac{2}{20!}\).