1. У нас есть четыре коробки со шарами. В первой коробке - 4 синих и 5 красных, во второй - 5 синих и 4 красных

Задача 1:
У нас есть четыре коробки со шарами: первая, в которой содержится 4 синих и 5 красных шаров, вторая - 5 синих и 4 красных, третья - 7 красных, и четвертая - 12 синих шаров.

Мы случайным образом выбираем шар, и он оказывается красным. Мы должны определить вероятность того, что этот красный шар был взят из второй коробки.

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой условной вероятности:

\[P(A|B) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}\]

где \(P(A|B)\) - вероятность события A при условии B, \(P(A \cap B)\) - вероятность одновременного наступления событий A и B, \(P(B)\) - вероятность события B.

В данной задаче событие A - "шар взят из второй коробки", а событие B - "выбранный шар оказывается красным". Мы хотим найти вероятность \(P(A|B)\), т.е. вероятность того, что шар был взят из второй коробки, при условии, что он красный.

Для начала определим \(P(A \cap B)\) - вероятность одновременного наступления событий A и B. Вероятность выбрать красный шар из второй коробки равна количеству красных шаров во второй коробке (4) к общему числу шаров во всех коробках (4+5+7+12=28). То есть,

\[P(A \cap B) = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}\]

Теперь определим \(P(B)\) - вероятность события B, т.е. вероятность выбрать красный шар из любой из коробок. Общее число красных шаров во всех коробках равно 5+4+7=16, а общее число шаров равно 4+5+7+12=28. Итак,

\[P(B) = \frac{16}{28} = \frac{4}{7}\]

Теперь мы можем вычислить условную вероятность \(P(A|B)\):

\[P(A|B) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{1}{7}}}{{\frac{4}{7}}} = \frac{1}{4}\]

Таким образом, вероятность того, что выбранный красный шар был взят из второй коробки, равна \(\frac{1}{4}\).

Задача 2:
У двух студентов есть задача. Вероятность того, что первый студент решит задачу, равна 0,72, а вероятность того, что второй студент решит задачу, равна 0,65.

Чтобы найти вероятность того, что оба студента решат задачу, мы перемножим вероятности каждого студента решить задачу:

\[P(\text{{оба студента решат задачу}}) = P(\text{{первый студент решит задачу}}) \cdot P(\text{{второй студент решит задачу}})\]

\[P(\text{{оба студента решат задачу}}) = 0,72 \cdot 0,65 = 0,468\]

Таким образом, вероятность того, что оба студента решат задачу, равна 0,468.

Чтобы найти вероятность того, что задачу решит только один студент, мы должны учесть два случая: когда первый студент решит задачу, а второй - нет, и когда второй студент решит задачу, а первый - нет. Затем мы должны сложить эти две вероятности:

\[P(\text{{задачу решит только один студент}}) = P(\text{{первый студент решит, второй - нет}}) + P(\text{{второй студент решит, первый - нет}})\]

\[P(\text{{задачу решит только один студент}}) = (P(\text{{первый студент решит задачу}}) \cdot P(\text{{второй студент не решит задачу}})) + (P(\text{{второй студент решит задачу}}) \cdot P(\text{{первый студент не решит задачу}}))\]

\[P(\text{{задачу решит только один студент}}) = (0,72 \cdot 0,35) + (0,65 \cdot 0,28) = 0,252 + 0,182 = 0,434\]

Таким образом, вероятность того, что задачу решит только один студент, равна 0,434.