1. Требуется доказать, что для функции y=f(x), где f(x)=x^2+1, значение функции f(ctg8x) равно 1/sin^2(8x

Конечно! Давайте начнем с первой задачи.

1. Мы должны доказать, что значение функции \(f(ctg(8x))\) равно \(\frac{1}{\sin^2(8x)}\), где функция \(f(x) = x^2+1\).

Для начала, давайте найдем значение \(f(ctg(8x))\):
\[f(ctg(8x)) = (ctg(8x))^2+1\]

Затем, мы можем переписать \(ctg(8x)\) как \(\frac{1}{\tan(8x)}\).

Теперь, заменим \(ctg(8x)\) в исходном уравнении:
\[f(ctg(8x)) = \left(\frac{1}{\tan(8x)}\right)^2+1\]

Далее, мы можем записать \(\tan(8x)\) как \(\frac{\sin(8x)}{\cos(8x)}\):
\[f(ctg(8x)) = \left(\frac{1}{\frac{\sin(8x)}{\cos(8x)}}\right)^2+1\]

Теперь, давайте упростим эту дробь:
\[f(ctg(8x)) = \left(\frac{\cos(8x)}{\sin(8x)}\right)^2+1\]

Затем, возведем в квадрат дробь \(\frac{\cos(8x)}{\sin(8x)}\):
\[f(ctg(8x)) = \frac{\cos^2(8x)}{\sin^2(8x)}+1\]

Наконец, объединим две дроби и упростим:
\[f(ctg(8x)) = \frac{\cos^2(8x)+\sin^2(8x)}{\sin^2(8x)}\]

Мы знаем, что \(\cos^2(8x)+\sin^2(8x)=1\), поэтому:
\[f(ctg(8x)) = \frac{1}{\sin^2(8x)}\]

Таким образом, мы доказали, что значение функции \(f(ctg(8x))\) равно \(\frac{1}{\sin^2(8x)}\).

Теперь перейдем ко второй задаче.

2. Нам нужно проверить, верно ли равенство \(\cos^2(8π+x)=1+\sin^2(22π−x)\).

Для начала, заметим, что \(\cos(8π+x)\) и \(\sin(22π−x)\) являются тригонометрическими функциями, которые можно выразить через равенства:
\(\cos(8π+x) = \cos(x)\) и \(\sin(22π−x) = -\sin(x)\).

Теперь, подставим эти значения в исходное равенство:
\(\cos^2(x) = 1+(-\sin(x))^2\)

Упростим правую часть равенства:
\(\cos^2(x) = 1+\sin^2(x)\)

Здесь мы используем известное тождество, что \(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\).

Таким образом, равенство \(\cos^2(8π+x)=1+\sin^2(22π−x)\) верно.

Это доказывает правильность заданных равенств. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!