1) Существует коробка с 5 желтыми и 3 красными шарами. Из этой коробки случайным образом выбираются 4 шара

1) Для построения ряда распределения случайной величины Х, которая обозначает количество желтых шаров в выборке из 4 шаров, нам необходимо рассмотреть все возможные исходы.

Изначально у нас есть коробка с 5 желтыми и 3 красными шарами. Всего шаров в коробке: 5 + 3 = 8.

Теперь мы выбираем 4 шара из этой коробки:

1. Возможный исход: выбираем 4 желтых шара. Вероятность этого исхода можно найти по формуле:

\[P(A=4) = \frac{{C(5,4) \cdot C(3,0)}}{{C(8,4)}}\]

где \(C(n, k)\) обозначает биномиальный коэффициент (число сочетаний из n по k).

2. Возможный исход: выбираем 3 желтых и 1 красный шар. Вероятность этого исхода можно найти по формуле:

\[P(A=3) = \frac{{C(5,3) \cdot C(3,1)}}{{C(8,4)}}\]

3. Возможный исход: выбираем 2 желтых и 2 красных шара. Вероятность этого исхода можно найти по формуле:

\[P(A=2) = \frac{{C(5,2) \cdot C(3,2)}}{{C(8,4)}}\]

4. Возможный исход: выбираем 1 желтый и 3 красных шара. Вероятность этого исхода можно найти по формуле:

\[P(A=1) = \frac{{C(5,1) \cdot C(3,3)}}{{C(8,4)}}\]

5. Возможный исход: выбираем 0 желтых и 4 красных шара. Вероятность этого исхода можно найти по формуле:

\[P(A=0) = \frac{{C(5,0) \cdot C(3,4)}}{{C(8,4)}}\]

Таким образом, ряд распределения для случайной величины Х будет иметь вид:

\[
\begin{{array}}{{|c|c|}}
\hline
X & P(A=X) \\
\hline
0 & \frac{{C(5,0) \cdot C(3,4)}}{{C(8,4)}} \\
1 & \frac{{C(5,1) \cdot C(3,3)}}{{C(8,4)}} \\
2 & \frac{{C(5,2) \cdot C(3,2)}}{{C(8,4)}} \\
3 & \frac{{C(5,3) \cdot C(3,1)}}{{C(8,4)}} \\
4 & \frac{{C(5,4) \cdot C(3,0)}}{{C(8,4)}} \\
\hline
\end{{array}}
\]

2) Для расчета вероятности того, что значения 4 выпадут ровно дважды при 10 бросках кости, нам необходимо использовать формулу для распределения Бернулли.

Вероятность, что при одном броске кости выпадет 4, равна \(\frac{1}{6}\), так как у нас есть только одно значение 4 из шести возможных (от 1 до 6).

Теперь мы можем применить формулу для расчета вероятности выполнения события ровно \(k\) раз из \(n\) попыток:

\[P(X=k) = C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где \(p\) - вероятность выпадения значения 4 при одном броске, \(C(n,k)\) - биномиальный коэффициент.

Таким образом, для нашей задачи, где \(n=10\) (количество бросков) и \(k=2\) (количество раз выпадения значения 4), вероятность будет:

\[P(X=2) = C(10,2) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^8\]

Велечина \(C(10,2)\) равна \(\frac{10!}{2! \cdot (10-2)!}\).

Теперь мы можем вычислить эту вероятность и найти вероятность выпадения значения 4 ровно дважды при 10 бросках кости.