1) Сколько возможных вариантов составов бригад можно сформировать из 12 рабочих, если в каждой бригаде должно быть

1) Чтобы решить задачу, мы можем воспользоваться формулой сочетания. Сочетание обозначается символом \(C\) и вычисляется по формуле:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}} \]

Где \(n\) - число элементов, из которых выбирается комбинация, а \(k\) - число элементов в комбинации.

В данной задаче у нас имеется 12 рабочих, и мы хотим сформировать бригады по 4 человека. Поэтому, используя формулу сочетания, получаем:

\[C(12, 4) = \frac{{12!}}{{4! \cdot (12-4)!}} = \frac{{12!}}{{4! \cdot 8!}}\]

Теперь давайте вычислим это значение:

\[C(12, 4) = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 8!}} = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 495 \]

Таким образом, мы можем сформировать 495 различных вариантов составов бригад из 12 рабочих, при условии, что в каждой бригаде должно быть по 4 человека.


2) Чтобы решить эту задачу, мы можем рассмотреть рабочих А, Б и В как одну группу. У нас остается 9 рабочих и нужно сформировать бригады по 4 человека. Тем самым, мы решаем задачу с похожим условием, как в первом пункте.

Таким образом, используя формулу сочетания, получаем:

\[C(9, 4) = \frac{{9!}}{{4! \cdot (9-4)!}} = \frac{{9!}}{{4! \cdot 5!}}\]

Вычисляя это значение:

\[C(9, 4) = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!}} = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 126 \]

Таким образом, мы можем образовать 126 вариантов состава бригад, в которых рабочие А, Б и В находятся в одной бригаде.


3) Чтобы решить эту задачу, мы рассмотрим рабочих D и E как одну группу. У нас остается 10 рабочих и нужно сформировать бригады по 4 человека.

Используя формулу сочетания, получаем:

\[C(10, 4) = \frac{{10!}}{{4! \cdot (10-4)!}} = \frac{{10!}}{{4! \cdot 6!}}\]

Вычисляя это значение:

\[C(10, 4) = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 6!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 210 \]

Таким образом, мы можем сформировать 210 вариантов состава бригад, в которых рабочие D и E находятся в одной бригаде.


4) Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать принцип дополнения. Всего у нас есть 12 рабочих, и мы хотим сформировать бригады по 4 человека. Таким образом, в каждой бригаде будет 3 рабочих.

Теперь давайте рассмотрим, сколько вариантов каждый из рабочих А, Б и В может быть в одной бригаде.

Пусть А будет быть в одной бригаде. Тогда, у нас остается 11 рабочих, и мы хотим сформировать бригады по 3 человека. Используя формулу сочетания, получаем:

\[C(11, 3) = \frac{{11!}}{{3! \cdot (11-3)!}} = \frac{{11!}}{{3! \cdot 8!}}\]

Вычисляя это значение:

\[C(11, 3) = \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}}{{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 8!}} = \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 165 \]

Таким образом, если А будет в одной бригаде, мы можем сформировать 165 вариантов состава бригад.

Аналогично рассмотрим Б и В. Таким образом, для каждого из рабочих А, Б и В, у нас есть 165 вариантов состава бригад, если они распределены по разным бригадам.

В итоге, используя принцип дополнения, мы можем получить количество вариантов состава бригад:

\(C(12, 4) - 3 \cdot C(11, 3) = 495 - 3 \cdot 165 = 495 - 495 = 0\)

Таким образом, не существует вариантов состава бригад, в которых рабочие А, Б и В будут распределены по разным бригадам.