1) Сколько возможных вариантов составов бригад можно сформировать из 12 рабочих, если в каждой бригаде должно быть

1) Чтобы решить задачу, мы можем воспользоваться формулой сочетания. Сочетание обозначается символом $C$ и вычисляется по формуле:

$$C(n,k)=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$$

Где $n$ - число элементов, из которых выбирается комбинация, а $k$ - число элементов в комбинации.

В данной задаче у нас имеется 12 рабочих, и мы хотим сформировать бригады по 4 человека. Поэтому, используя формулу сочетания, получаем:

$$C(12,4)=\frac{12!}{4!\cdot (12-4)!}=\frac{12!}{4!\cdot 8!}$$

Теперь давайте вычислим это значение:

$$C(12,4)=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8!}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 8!}=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=495$$

Таким образом, мы можем сформировать 495 различных вариантов составов бригад из 12 рабочих, при условии, что в каждой бригаде должно быть по 4 человека.


2) Чтобы решить эту задачу, мы можем рассмотреть рабочих А, Б и В как одну группу. У нас остается 9 рабочих и нужно сформировать бригады по 4 человека. Тем самым, мы решаем задачу с похожим условием, как в первом пункте.

Таким образом, используя формулу сочетания, получаем:

$$C(9,4)=\frac{9!}{4!\cdot (9-4)!}=\frac{9!}{4!\cdot 5!}$$

Вычисляя это значение:

$$C(9,4)=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 5!}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=126$$

Таким образом, мы можем образовать 126 вариантов состава бригад, в которых рабочие А, Б и В находятся в одной бригаде.


3) Чтобы решить эту задачу, мы рассмотрим рабочих D и E как одну группу. У нас остается 10 рабочих и нужно сформировать бригады по 4 человека.

Используя формулу сочетания, получаем:

$$C(10,4)=\frac{10!}{4!\cdot (10-4)!}=\frac{10!}{4!\cdot 6!}$$

Вычисляя это значение:

$$C(10,4)=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 6!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=210$$

Таким образом, мы можем сформировать 210 вариантов состава бригад, в которых рабочие D и E находятся в одной бригаде.


4) Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать принцип дополнения. Всего у нас есть 12 рабочих, и мы хотим сформировать бригады по 4 человека. Таким образом, в каждой бригаде будет 3 рабочих.

Теперь давайте рассмотрим, сколько вариантов каждый из рабочих А, Б и В может быть в одной бригаде.

Пусть А будет быть в одной бригаде. Тогда, у нас остается 11 рабочих, и мы хотим сформировать бригады по 3 человека. Используя формулу сочетания, получаем:

$$C(11,3)=\frac{11!}{3!\cdot (11-3)!}=\frac{11!}{3!\cdot 8!}$$

Вычисляя это значение:

$$C(11,3)=\frac{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8!}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 8!}=\frac{11\cdot 10\cdot 9}{3\cdot 2\cdot 1}=165$$

Таким образом, если А будет в одной бригаде, мы можем сформировать 165 вариантов состава бригад.

Аналогично рассмотрим Б и В. Таким образом, для каждого из рабочих А, Б и В, у нас есть 165 вариантов состава бригад, если они распределены по разным бригадам.

В итоге, используя принцип дополнения, мы можем получить количество вариантов состава бригад:

$C(12,4)-3\cdot C(11,3)=495-3\cdot 165=495-495=0$

Таким образом, не существует вариантов состава бригад, в которых рабочие А, Б и В будут распределены по разным бригадам.