1/ Сколько способов проиграть 5 из 10 выбранных песен у диджея? 2/ Сколько вариантов есть для расстановки 5 книг

1/ Чтобы определить количество способов проиграть 5 из 10 выбранных песен у диджея, мы можем использовать комбинаторные методы. Предположим, что порядок песен не имеет значения, что они играются все сразу. В этом случае все 10 песен оказываются выбранными, и нам нужно выбрать 5 из них, которые проиграют.

Мы можем использовать формулу сочетания, которая выглядит следующим образом: \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.

В данном случае \(n = 10\) (общее количество выбранных песен) и \(k = 5\) (количество песен, которые мы хотим проиграть). Подставляя значения в формулу, мы получаем:

\(\binom{10}{5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{30240}{120} = 252\)

Таким образом, существует 252 способа проиграть 5 из 10 выбранных песен у диджея.

2/ Чтобы определить количество вариантов для расстановки 5 книг на полке, мы можем использовать перестановки. Предположим, что полка имеет определенную последовательность мест для книг, и порядок книг на полке имеет значение.

В этом случае у нас есть 5 книг и 5 мест на полке для них. Первая книга может быть размещена на любом из 5 мест, вторая - на любом из оставшихся 4 мест, третья - на любом из оставшихся 3 мест, и так далее. Мы можем выразить это в виде факториального выражения:

\(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\)

Таким образом, существует 120 вариантов для расстановки 5 книг на полке.

3/ Чтобы определить количество возможных расположений для четырех мальчиков и трех девочек в кинотеатре, чтобы каждая девочка сидела между двумя мальчиками, мы можем использовать комбинаторные методы.

Поскольку каждая девочка должна сидеть между двумя мальчиками, можно считать девочек и мальчиков вместе, как одну группу. Тогда у нас есть 7 человек в этой группе. Дальше мы можем рассмотреть количество возможных перестановок внутри этой группы.

У нас есть 7 человек, и для первого человека, который сядет на краю кресла, есть 7 возможностей. Для каждого последующего человека возможностей становится на 1 меньше, поэтому мы получаем:

\(7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040\)

Таким образом, существует 5040 возможных расположений для четырех мальчиков и трех девочек в кинотеатре, чтобы каждая девочка сидела между двумя мальчиками.

4/ Чтобы определить количество способов, которыми трое супружеских пар могут сесть лицом к лицу друг напротив друга за столом, мы можем использовать комбинаторные методы.

У нас есть 10 человек, и мы хотим, чтобы 5 сидели с одной стороны стола, а 5 - с противоположной. Поскольку супружеские пары обязательно должны сидеть лицом к лицу друг напротив друга, мы можем выбрать 3 мужчин и 2 женщин, которые будут сидеть с одной стороны стола, и 3 мужчин и 2 женщин, которые будут сидеть с противоположной стороны.

У нас есть 3 мужчины и 2 женщины, поэтому количество способов для одной группы (сидящие с одной стороны стола) будет равно перестановкам из 5 элементов, что равно \(5!\), и количество способов для другой группы (сидящие с противоположной стороны стола) также будет равно \(5!\). Умножим эти два значения, чтобы получить общее количество способов:

\(5! \cdot 5! = 120 \cdot 120 = 14400\)

Таким образом, существует 14400 способов для трех супружеских пар, чтобы сесть лицом к лицу друг напротив друга за столом, если имеется 10 человек, пять с одной стороны и пять с противоположной стороны.