1. Сколько способов может выбрать начальник сотрудников для составления годового отчета и организации банкета

Конечно, давайте решим каждую задачу по порядку:

1. Для составления годового отчета и организации банкета начальнику необходимо выбрать 7 сотрудников из общего числа 7 человек. Для этого используется комбинаторная задача из области теории множеств - задача о количестве сочетаний. Формула для нахождения числа сочетаний имеет вид:
\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где:
\(n\) - общее количество элементов,
\(k\) - количество выбираемых элементов,
\(!\) - знак факториала.

Подставим в формулу значения: \(n = 7\) (общее количество сотрудников), \(k = 7\) (количество выбираемых сотрудников):
\[C_7^7 = \frac{7!}{7!(7-7)!} = \frac{7!}{7!0!} = \frac{7!}{7!} = 1\]

Итак, начальнику есть всего 1 способ выбрать всех 7 сотрудников для составления отчета и организации банкета.

2. Для нахождения вероятности того, что все орудия выберут цель на один из 4 самолетов при залпе из 5 орудий, можно воспользоваться формулой условной вероятности:
\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

где:
\(P(A|B)\) - условная вероятность события \(A\) при условии, что событие \(B\) уже произошло,
\(P(A \cap B)\) - вероятность того, что произойдут события \(A\) и \(B\) одновременно,
\(P(B)\) - вероятность события \(B\).

Сначала найдем вероятность того, что все орудия выберут цель на один из 4 самолетов:
В данной ситуации у нас есть 5 орудий и 4 самолета, поэтому ордному орудию доступно 4 цели.
Теперь найдем вероятность того, что все орудия попадут каждое в свою цель:
\[P = \frac{4}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{24}{256} = \frac{3}{32}\]

Итак, вероятность того, что все орудия попадут в цель составляет \( \frac{3}{32} \).

3. Для нахождения вероятности того, что команды "Спартак" и "ЦСКА" окажутся в разных подгруппах из 16 случайно разделенных команд, нужно рассмотреть все возможные способы разделения и посчитать количество благоприятных исходов.

Общее количество способов разделить 16 команд на 2 равные группы равно \( \frac{C_{16}^8}{2} \), так как порядок разделения не важен, и нужно разделить на 2, чтобы учесть случай, когда "Спартак" и "ЦСКА" находятся в разных группах.

Теперь посчитаем количество благоприятных исходов, когда "Спартак" и "ЦСКА" находятся в разных группах. У нас 8 мест в каждой группе, и "Спартак" занимает 1 из них. Тогда у "ЦСКА" остается 7 мест в первой группе и 8 мест во второй группе. Поэтому число благоприятных исходов равно \(C_7^1 \cdot C_8^1\).

Таким образом, вероятность того, что команды "Спартак" и "ЦСКА" окажутся в разных подгруппах составляет:
\[P = \frac{C_7^1 \cdot C_8^1}{\frac{C_{16}^8}{2}}\]