1. Сколько различных комбинаций могут выпасть в игре 6 из 45 в лотерее? А) 75 230; В) 8 145 060; С) 10 230 000

1. Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для нахождения комбинаций без повторений:
\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]
где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем из исходного множества.

В данной задаче у нас 45 чисел, и мы выбираем 6 из них. Подставим значения в формулу:
\[C_{45}^6 = \frac{{45!}}{{6!(45-6)!}}\]
\[C_{45}^6 = \frac{{45!}}{{6!39!}}\]

Теперь можем вычислить значение:
\[C_{45}^6 = \frac{{45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40}}{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]
\[C_{45}^6 = \frac{{258 \, 271 \, 200}}{{720}}\]
\[C_{45}^6 = 376 \, 992\]

Таким образом, ответ на первый вопрос: комбинаций, которые могут выпасть в игре "6 из 45" в лотерее - 376 992. Ответ: A) 75 230.

2. Для нахождения количества размещений из трех букв А, В, С мы можем использовать формулу для перестановок без повторений:
\[P_n = n!\]
где \(n\) - общее количество элементов.

В данной задаче у нас 3 буквы, поэтому количество размещений будет равно:
\[P_3 = 3!\]
\[P_3 = 3 \cdot 2 \cdot 1\]
\[P_3 = 6\]

Ответ на второй вопрос: количество размещений из трех букв А, В, С - 6. Ответ: A) 6.

3. Чтобы разделить группу из 15 учащихся на две группы, нужно выбрать 4 ученика для первой группы, а оставшихся 11 учеников отправить во вторую группу. Мы можем использовать формулу для сочетаний без повторений:
\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]

Теперь мы можем подставить значения:
\[C_{15}^4 = \frac{{15!}}{{4!(15-4)!}}\]
\[C_{15}^4 = \frac{{15!}}{{4!11!}}\]

Вычислим значение:
\[C_{15}^4 = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]
\[C_{15}^4 = \frac{{32 \, 760}}{{24}}\]
\[C_{15}^4 = 1365\]

Ответ на третий вопрос: способов разделить группу из 15 учащихся на две группы с 4 и 11 человеками соответственно - 1365. Ответ: D) 1365.

4. Чтобы найти количество вариантов расстановки 8 томов энциклопедии на полке, мы можем использовать формулу для перестановок с повторениями:
\[P_n^{m_1, m_2, ..., m_k} = \frac{{n!}}{{m_1!m_2!...m_k!}}\]
где \(n\) - общее количество элементов, а \(m_1, m_2, ..., m_k\) - количество каждого элемента.

В данной задаче у нас 8 томов энциклопедии. Первый и второй тома не могут стоять рядом, поэтому у нас две группы - первый том и остальные семь томов.

Теперь мы можем подставить значения в формулу:
\[P_8^{1, 7} = \frac{{8!}}{{1!7!}}\]
\[P_8^{1, 7} = \frac{{8!}}{{1! \cdot 7!}}\]

Вычислим значение:
\[P_8^{1, 7} = \frac{{8 \cdot 7!}}{{7!}}\]
\[P_8^{1, 7} = 8\]

Ответ на четвертый вопрос: количество вариантов расстановки 8 томов энциклопедии на полке так, чтобы первый и второй тома не стояли рядом - 8. Ответ: A) 26 854.

5. В данном вопросе не указана задача или условие. Пожалуйста, предоставьте дополнительную информацию для задачи, чтобы я смог помочь вам.