1) Сколько различных кодовых слов Иван может составить из букв а, б, в, г, д, я, длиной 5 символов, в которых ровно

Хорошо, давайте решим каждую задачу по очереди.

Задача 1: Сколько различных кодовых слов Иван может составить из букв а, б, в, г, д, я, длиной 5 символов, в которых ровно одна буква "я" встречается либо на первой, либо на последней позиции?

Чтобы решить эту задачу, мы можем разделить ее на два случая: когда буква "я" находится на первой позиции и когда она находится на последней позиции.

1. Когда "я" находится на первой позиции:
- В этом случае, у нас есть 1 вариант для первой позиции (буква "я") и 4 варианта для каждой из оставшихся 4 позиций (так как они не должны содержать букву "я").
- Таким образом, общее количество кодовых слов в этом случае равно \(1 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 256\) слов.

2. Когда "я" находится на последней позиции:
- В этом случае, у нас также будет 1 вариант для последней позиции (буква "я"), но 4 варианта для каждой из первых 4 позиций.
- Таким образом, общее количество кодовых слов в этом случае также будет равно \(1 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 256\) слов.

Итак, общее количество различных кодовых слов, которые Иван может составить, составляет сумму количества кодовых слов в каждом из двух случаев: \(256 + 256 = 512\) слов.

Задача 2: Сколько существует слов, состоящих из 6 символов, формируемых Васей, в которых используются только буквы "к", "о", "м", "а" и буква "а" встречается не более 3-х раз, а остальные допустимые буквы могут встречаться любое количество раз или не встречаться вовсе?

Для решения этой задачи, мы можем рассмотреть все возможные варианты, в которых буква "а" может встречаться 0, 1, 2 или 3 раза.

1. Когда буква "а" не встречается в слове:
- В этом случае, у нас остаются только 3 буквы ("к", "о" и "м") для заполнения каждой из 6 позиций.
- Таким образом, количество слов в этом случае будет равно \(3^6 = 729\) слов.

2. Когда буква "а" встречается 1 раз:
- В этом случае, у нас есть 1 вариант для позиции с буквой "а" и 3 варианта для каждой из оставшихся 5 позиций.
- Таким образом, количество слов в этом случае будет равно \(1 \times 3^5 = 243\) слова.

3. Когда буква "а" встречается 2 раза:
- В этом случае, у нас есть \(\binom{6}{2}\) вариантов для позиций, где будет находиться буква "а" (6 позиций на 2 буквы).
- Для каждого такого варианта, у нас есть 3 варианта для каждой из оставшихся 4 позиций.
- Таким образом, количество слов в этом случае будет равно \(\binom{6}{2} \times 3^4\) слова.

4. Когда буква "а" встречается 3 раза:
- В этом случае, у нас есть \(\binom{6}{3}\) вариантов для позиций, где будет находиться буква "а" (6 позиций на 3 буквы).
- Для каждого такого варианта, у нас есть 3 варианта для каждой из оставшихся 3 позиций.
- Таким образом, количество слов в этом случае будет равно \(\binom{6}{3} \times 3^3\) слова.

Итак, общее количество слов, которые Вася может сформировать, будет равно сумме количества слов в каждом из четырех случаев: \(729 + 243 + \binom{6}{2} \times 3^4 + \binom{6}{3} \times 3^3\). Теперь давайте вычислим это значение:

\[
\begin{align*}
&729 + 243 + \binom{6}{2} \times 3^4 + \binom{6}{3} \times 3^3 \\
&= 729 + 243 + 15 \times 81 + 20 \times 27 \\
&= 729 + 243 + 1215 + 540 \\
&= 2727
\end{align*}
\]

Итак, существует 2727 слов, состоящих из 6 символов, формируемых Васей, в которых используются только буквы "к", "о", "м", "а", и буква "а" встречается не более 3-х раз.