1. Сколько пончиков Клыкхаузер получил в подарок от хозяев деревни во время поездки, если он успел съесть половину

Добро пожаловать в нашу игру! Давайте решим ваши задачи по порядку.

1. Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с последнего свободного пончика Клыкхаузера в конечной точке пути. Если у него остался только один пончик, то перед этим он съел половину пончиков перед каждой остановкой в поезде. Таким образом, до конечной точки пути осталось 2 пончика (количество пончиков умножается на 2 после каждой остановки в поезде).

Теперь давайте посмотрим, сколько пончиков было у Клыкхаузера до его последней остановки в поезде. Поскольку он съел половину пончиков перед каждой остановкой, то перед предпоследней остановкой у него было 2 пончика. Перед антепоследней остановкой у него было 4 пончика и так далее.

Мы можем заметить, что количество пончиков у Клыкхаузера перед каждой остановкой образует геометрическую прогрессию с первым членом 2 и знаменателем 2 (так как количество пончиков умножается на 2 после каждой остановки).

Теперь определим количество остановок в поезде. Мы знаем, что перед каждой остановкой Клыкхаузер съедал половину пончиков, то есть количество пончиков перед каждой остановкой умножалось на 2. Известно, что в конечной точке пути остался только один пончик. Исходя из этого, мы можем установить следующую связь:

\(2 \cdot 2^n = 1\), где \(n\) - количество остановок в поезде.

Решим это уравнение:

\[2^n = \frac{1}{2}\]
\[n = \log_2{\frac{1}{2}} = -1\]

Мы получили значение \(n = -1\), что означает, что у нас была одна остановка в поезде перед конечной точкой пути.

Теперь, чтобы найти количество пончиков, которое Клыкхаузер получил в подарок, нам нужно просуммировать количество пончиков перед каждой остановкой. Мы можем использовать сумму геометрической прогрессии для этого.

Сумма геометрической прогрессии определяется следующей формулой:

\[S = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}\]

где \(S\) - сумма геометрической прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии, \(n\) - количество членов прогрессии.

В нашем случае:
\(a_1 = 2\) (первый член прогрессии),
\(r = 2\) (знаменатель прогрессии),
\(n = 1\) (количество членов прогрессии).

Подставим значения в формулу:

\[S = \frac{2(1 - 2^1)}{1 - 2} = \frac{2(1 - 2)}{-1} = -2\]

Мы получили сумму геометрической прогрессии \(S = -2\), что означает, что Клыкхаузер получил в подарок 2 пончика.

Итак, Клыкхаузер получил в подарок 2 пончика от хозяев деревни во время поездки.

2. К сожалению, из вашего вопроса не ясно, какой подарок Ленивец однажды получил. Чтобы я мог вам помочь, пожалуйста, предоставьте больше информации о подарке Ленивца.