Яка величина двогранного кута при основі правильної п-кутної піраміди, якщо площа її повної поверхні втричі більша

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать свойство правильной пирамиды, а именно, отношение площади боковой поверхности к площади основания.

Пусть \(S\) - площадь основания пирамиды, \(B\) - площадь боковой поверхности пирамиды.
Из условия задачи нам дано, что площадь повной поверхности втрое больше площади основы: \(S + B = 3S\).

Теперь найдем соотношение между \(B\) и \(S\).
Для правильной пирамиды, площадь боковой поверхности равна полупериметру основания, умноженному на длину боковой стороны пирамиды.
Так как мы имеем п-угольную правильную пирамиду, у которой сторона правильного п-угольника является радиусом окружности, описанной вокруг этого п-угольника, то длина боковой стороны пирамиды будет \(r\), где \(r\) - радиус этой окружности.
Таким образом, \(B = \frac{p}{2} \cdot r\), где \(p\) - периметр п-угольника, \(r\) - радиус этой окружности.

Имея найденное соотношение между \(B\) и \(S\), мы можем составить уравнение и решить его.

Подставим \(B\) в уравнение \(S + B = 3S\):
\(S + \frac{p}{2} \cdot r = 3S\).

Выразим \(r\) через \(p\) и \(S\):
\(\frac{p}{2} \cdot r = 2S\),
\(r = \frac{4S}{p}\).

Теперь, зная, что \(r = \frac{4S}{p}\), мы можем найти величину двугранного угла при основании пирамиды, используя тригонометрическое соотношение:
\(\text{tg}(\frac{\angle A}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \cos(\angle A)}{1 + \cos(\angle A)}}\),
где \(\angle A\) - искомый угол, а \(\text{tg}\) - тангенс.

И, наконец, подставив значение \(\frac{4S}{p}\) в уравнение тангенса, мы найдем искомый угол.

Теперь давайте проведем все вычисления.