1. Сколько абонентов может иметь данная телефонная станция, если у них номера состоят из 10 цифр, при этом первая цифра

Задача 1:

Для нахождения количества абонентов на данной телефонной станции, у которых номера состоят из 10 цифр, при этом первая цифра одинаковая, а 4 последние цифры каждого номера должны быть различными, мы можем представить это в виде последовательности действий:

1) Выбор первой цифры номера:
- Вариантов выбора первой цифры номера - 9 (от 1 до 9, так как первая цифра не может быть 0).

2) Выбор оставшихся 9 цифр номера:
- Вариантов выбора второй цифры номера - 10 (от 0 до 9).
- Вариантов выбора третьей цифры номера - 10 (от 0 до 9).
- Вариантов выбора четвёртой цифры номера - 10 (от 0 до 9).
- Вариантов выбора пятой цифры номера - 9 (от 0 до 9, за исключением уже выбранной первой цифры).
- Вариантов выбора шестой цифры номера - 8 (от 0 до 9, за исключением уже выбранных цифр).
- Вариантов выбора седьмой цифры номера - 7 (от 0 до 9, за исключением уже выбранных цифр).
- Вариантов выбора восьмой цифры номера - 6 (от 0 до 9, за исключением уже выбранных цифр).
- Вариантов выбора девятой цифры номера - 5 (от 0 до 9, за исключением уже выбранных цифр).
- Вариантов выбора десятой цифры номера - 4 (от 0 до 9, за исключением уже выбранных цифр).

3) Произведение всех вариантов выбора первой и оставшихся 9 цифр номера:
- Общее количество абонентов на данной телефонной станции равно произведению количества вариантов выбора первой цифры и оставшихся 9 цифр номера:
\[9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4\]

4) Вычисление значения:
\[9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 9,720,000\]

Таким образом, данная телефонная станция может иметь 9,720,000 абонентов.

Задача 2:

а) Вероятность наличия двух бракованных деталей:

Для нахождения вероятности наличия двух бракованных деталей из пяти взятых на контроль, мы можем использовать коэффициенты сочетания.

1) Выбор 2 бракованных деталей:
- Количество сочетаний из 5 по 2:
\[\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10\]

2) Вероятность каждого сочетания:
- Вероятность каждого сочетания будет равна вероятности бракованной детали, возведенной в степень количества бракованных деталей, умноженная на вероятность нормальной детали, возведенную в степень разности между общим количеством деталей и количеством бракованных деталей.

Пусть вероятность бракованной детали равна \(p_b\) и вероятность нормальной детали равна \(p_n\). Тогда вероятность каждого сочетания будет равна \(p_b^2 \times p_n^{5-2}\).

3) Вычисление значения:
- Общая вероятность наличия двух бракованных деталей будет равна произведению количества сочетаний и вероятности каждого сочетания:
\[10 \times p_b^2 \times p_n^{5-2}\]

б) Вероятность наличия хотя бы одной бракованной детали:

Для нахождения вероятности наличия хотя бы одной бракованной детали из пяти взятых на контроль, мы можем воспользоваться формулой комбинаторики и вычесть из единицы вероятность полного отсутствия бракованных деталей.

1) Вычисление вероятности отсутствия бракованных деталей:
- Вероятность отсутствия бракованных деталей будет равна вероятности нормальной детали, возведенной в степень количества всех деталей.
- Тогда вероятность отсутствия бракованных деталей:
\[p_n^5\]

2) Вычисление вероятности наличия хотя бы одной бракованной детали:
- Вероятность наличия хотя бы одной бракованной детали будет равна 1 минус вероятность отсутствия бракованных деталей:
\[1 - p_n^5\]

в) Вероятность наличия не более одной бракованной детали:

Для нахождения вероятности наличия не более одной бракованной детали из пяти взятых на контроль, мы должны учесть случаи отсутствия бракованных частей и наличия одной бракованной.

1) Вычисление вероятности отсутствия бракованных деталей:
- Вероятность отсутствия бракованных деталей будет равна вероятности нормальной детали, возведенной в степень количества всех деталей.
- Тогда вероятность отсутствия бракованных деталей:
\[p_n^5\]

2) Вычисление вероятности наличия одной бракованной детали:
- Вероятность наличия одной бракованной детали будет равна произведению количества сочетаний из пяти по одному и вероятности каждого сочетания.
- Количество сочетаний из 5 по 1:
\[\binom{5}{1} = \frac{5!}{1!(5-1)!} = 5\]

- Вероятность каждого сочетания:
\[5 \times p_b^1 \times p_n^{5-1}\]

3) Вычисление вероятности наличия не более одной бракованной детали:
- Вероятность наличия не более одной бракованной детали будет равна сумме вероятностей отсутствия бракованных деталей и наличия одной бракованной:
\[p_n^5 + 5 \times p_b^1 \times p_n^{5-1}\]