1. С проведеными перпендикулярами KL и KM от точки К до прямой, сумма длин которых равна 15 см, а разность их длин

Конечно, давайте начнем с решения поставленных задач:

1. Пусть длина отрезка KL равна \(x\) см, а длина отрезка KM равна \(y\) см. По условию задачи, сумма длин данных перпендикуляров равна 15 см (\(x + y = 15\)) и их разность равна 1 см (\(x - y = 1\)).

Давайте найдем \(x\) и \(y\). Решим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x + y = 15 \\
x - y = 1
\end{cases}
\]

Сложим обе стороны уравнений:
\[
2x = 16 \Rightarrow x = 8
\]

Подставим \(x\) обратно в уравнение \(x + y = 15\):
\[
8 + y = 15 \Rightarrow y = 7
\]

Теперь нас просят найти расстояние от точки К до прямой. Расстояние от точки до прямой, проведенной через точку, равно длине перпендикуляра из этой точки к прямой. Так как точка К находится на прямой, расстояние от точки К до прямой равно 8 см.

2. Расстояние от точки M до прямой АВ также равно длине перпендикуляра из точки M к прямой.

3. Утверждение о том, что любая точка на перпендикуляре, проходящем через середину данного отрезка, равноудалена от его концов, можно доказать следующим образом: рассмотрим треугольник, образованный этим отрезком и перпендикуляром к нему, проведенным через середину. Так как этот перпендикуляр является высотой треугольника, то все его точки равноудалены от концов отрезка.

4. Чтобы доказать, что из точки, не принадлежащей данной прямой, можно провести только один перпендикуляр, предположим обратное. Пусть из данной точки можно провести два перпендикуляра к данной прямой. Тогда эти два перпендикуляра пересекутся в какой-то точке, но это означает, что из данной точки можно провести только один перпендикуляр к данной прямой. Следовательно, из точки можно провести только один перпендикуляр.