1. Реструктурируйте вопрос: Какое наибольшее значение принимает функция y = 15x - 14sinx + 8 на интервале [ -3pi/2

1. Какое наибольшее значение принимает функция \(y = 15x - 14\sin(x) + 8\) на интервале \([-3\pi/2; 0]\)?

Для решения этой задачи сначала найдем точки, где производная функции равна нулю. Вычислим производную:
\[
y" = 15 - 14\cos(x)
\]

Далее, приравняем \(y"\) к нулю и решим уравнение:
\[
15 - 14\cos(x) = 0
\]

\[14\cos(x) = 15\]
\[\cos(x) = \frac{15}{14}\]
\[x = \arccos\left(\frac{15}{14}\right)\]

Теперь мы знаем, что точки экстремума функции находятся при \(x = \arccos\left(\frac{15}{14}\right)\). Проверим значения функции в концах интервала и в найденной точке, чтобы определить наибольшее значение. Вычислим:
\[y(-3\pi/2) = 15(-3\pi/2) - 14\sin(-3\pi/2) + 8\]
\[y(0) = 15(0) - 14\sin(0) + 8\]
\[y\left(\arccos\left(\frac{15}{14}\right)\right) = 15\left(\arccos\left(\frac{15}{14}\right)\right) - 14\sin\left(\arccos\left(\frac{15}{14}\right)\right) + 8\]

Выберем наибольшее значение из этих трех, и это будет наибольшее значение функции на заданном интервале.

2. Какое наименьшее значение принимает функция \(y = 15x - 15\ln(x + 11) + 4\) на интервале \([-10.5; 8]\)?

Чтобы решить эту задачу, найдем точки, где производная функции равна нулю или не существует. Вычислим производную:
\[y" = 15 - \frac{15}{x + 11}\]

Приравняем \(y"\) к нулю и решим уравнение:
\[15 - \frac{15}{x + 11} = 0\]

Теперь мы знаем, что точки экстремума функции находятся при \(x\), удовлетворяющих уравнению:
\[x + 11 = 1\]
\[x = -10\]

Проверим значения функции в концах интервала и в найденной точке, чтобы определить наименьшее значение. Вычислим:
\[y(-10.5) = 15(-10.5) - 15\ln(-10.5 + 11) + 4\]
\[y(8) = 15(8) - 15\ln(8 + 11) + 4\]
\[y(-10) = 15(-10) - 15\ln(-10 + 11) + 4\]

Выберем наименьшее значение из этих трех, и это будет наименьшее значение функции на заданном интервале.

3. Какое наибольшее значение принимает функция \(y = 80x - 80\tan(x) + 20\pi\) на интервале \([-pi/4; pi/3]\)?

Для решения этой задачи найдите точки, где производная функции равна нулю или не существует. Вычислим производную:
\[y" = 80 - 80\sec^2(x)\]

Приравняйте \(y"\) к нулю и решите уравнение:
\[80 - 80\sec^2(x) = 0\]

Теперь мы знаем, что точки экстремума функции находятся при \(x\), удовлетворяющих уравнению:
\[\sec^2(x) = 1\]
\[\cos^2(x) = 0\]
\[\cos(x) = 0\]
\[x = \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}\]

Проверьте значения функции в концах интервала и в найденных точках, чтобы определить наибольшее значение. Вычислите:
\[y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 80\left(-\frac{\pi}{4}\right) - 80\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 20\pi\]
\[y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 80\left(\frac{\pi}{3}\right) - 80\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) + 20\pi\]
\[y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 80\left(-\frac{\pi}{2}\right) - 80\tan\left(-\frac{\pi}{2}\right) + 20\pi\]
\[y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 80\left(\frac{\pi}{2}\right) - 80\tan\left(\frac{\pi}{2}\right) + 20\pi\]

Выберите наибольшее значение из этих четырех, и это будет наибольшее значение функции на заданном интервале.

4. Найдите координаты точки максимума функции \(y = (23 + x)e^{23-x}\):

Чтобы найти координаты точки максимума функции, найдите производную и приравняйте ее к нулю:
\[y" = (23 - x)e^{23 - x} - e^{23 - x}\]
\[0 = (23 - x)e^{23 - x} - e^{23 - x}\]

Теперь решите это уравнение для \(x\):
\[(23 - x)e^{23 - x} = e^{23 - x}\]
\[23 - x = 1\]
\[x = 22\]

Теперь найдем значение функции в найденной точке:
\[y(22) = (23 + 22)e^{23 - 22}\]

Точка максимума функции будет иметь координаты \((22, y(22))\).