1) Постройте прямоугольник на клетчатом листе бумаги таким образом, чтобы его стороны проходили через все отмеченные

Для решения этой задачи, мы можем использовать следующий подход:

1) Дано:
- Клетчатый лист бумаги, на котором отмечены точки.
- Необходимо построить прямоугольник, стороны которого проходят через все отмеченные точки.

2) Решение:
- Поскольку нам нужно, чтобы стороны прямоугольника проходили через все отмеченные точки, мы можем начать с выбора какой-либо точки и рисования первой стороны прямоугольника через нее.
- Затем мы выбираем следующую точку, через которую должна проходить вторая сторона прямоугольника. Мы рисуем вторую сторону, которая проходит через эту точку и пересекает первую сторону в некоторой точке.
- Повторяем этот процесс для оставшихся точек, убеждаясь, что каждая из сторон прямоугольника проходит через все заданные точки.
- Когда все точки будут использованы, мы образуем замкнутую фигуру, внутри которой находится прямоугольник, стороны которого проходят через отмеченные точки.

3) Общая длина границы прямоугольника:
- Длина границы прямоугольника может быть определена суммированием длин всех его сторон.
- Каждая сторона прямоугольника является отрезком между двумя соседними точками.
- Чтобы найти общую длину границы, мы можем вычислить длину каждой стороны и сложить их.
- Длина стороны прямоугольника может быть вычислена, умножив количество клеток на единичную длину стороны клетки.

4) Пошаговое решение:
- Допустим, у нас есть квадратный клетчатый лист бумаги, состоящий из n строк и m столбцов (всего n × m клеток).
- В каждой клетке, размер которой равен a × a, отмечена точка.
- Мы строим прямоугольник, стороны которого проходят через все n × m отмеченных точек.

- Выбираем первый отмеченный столбец и строим первую вертикальную сторону прямоугольника.
- Затем выбираем последний отмеченный столбец и строим вторую вертикальную сторону, параллельную первой.
- Выбираем первую отмеченную строку и строим первую горизонтальную сторону.
- Выбираем последнюю отмеченную строку и строим вторую горизонтальную сторону, параллельную первой.

- При таком подходе мы гарантируем, что все отмеченные точки будут лежать на границе прямоугольника.
- Общая длина границы прямоугольника равна сумме длин его вертикальных и горизонтальных сторон:

\[
\text{{Общая длина границы}} = 2 \times \text{{(Длина вертикальной стороны)}} + 2 \times \text{{(Длина горизонтальной стороны)}}
\]

- Длина вертикальной стороны равна (m - 1) клетке.
- Длина горизонтальной стороны равна (n - 1) клетке.

- Подставляем эти значения в формулу и вычисляем общую длину границы.

5) Пример решения:
- Предположим, у нас есть квадратный клетчатый лист бумаги размером 4 × 4 клетки, где каждая клетка имеет размер 1 × 1.
- Отмечены все клетки.

- Мы начинаем конструировать прямоугольник, выбирая первый отмеченный столбец и строим первую вертикальную сторону (4 клетки).
- Затем выбираем последний отмеченный столбец и строим вторую вертикальную сторону, параллельную первой (4 клетки).
- Выбираем первую отмеченную строку и строим первую горизонтальную сторону (4 клетки).
- Выбираем последнюю отмеченную строку и строим вторую горизонтальную сторону, параллельную первой (4 клетки).

- Таким образом, получаем прямоугольник со сторонами 4 клетки по вертикали и 4 клетки по горизонтали.
- Общая длина границы прямоугольника равна:

\[
2 \times (4 - 1) \, \text{{клетка}} + 2 \times (4 - 1) \, \text{{клетка}} = 6 + 6 = 12 \, \text{{клеток}}
\]

- Общая длина границы прямоугольника равна 12 клеткам.

Таким образом, построение прямоугольника и вычисление его общей длины границы будет зависеть от размеров клетчатого листа бумаги и количества отмеченных точек. Для каждого конкретного случая нам необходимо применить описанные шаги и вычисления для получения точного результата.