1. Преобразуйте следующие уравнения: 1) Найти корни уравнения x^2+10x+22=0 2) Решить уравнение x^2+106x+693=0

Давайте начнем с решения первой задачи.

1) Найти корни уравнения \(x^2+10x+22=0\):

Для начала, давайте воспользуемся формулой дискриминанта, чтобы определить, существуют ли у этого уравнения решения. Формула дискриминанта выглядит следующим образом:

\[\Delta = b^2 - 4ac\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты уравнения $a{x}^2+bx+c=0$.

В нашем случае $a=1$, $b=10$, и $c=22$:

$$\mathrm{\Delta }=(10{)}^2-4(1)(22)$$$$\mathrm{\Delta }=(10{)}^2-4(1)(22)$$
$$\mathrm{\Delta }=100-88$$$$\mathrm{\Delta }=100-88$$
$$\mathrm{\Delta }=12$$$$\mathrm{\Delta }=12$$

Так как дискриминант $\mathrm{\Delta }$$\mathrm{\Delta }$ больше нуля, у нас есть два различных корня.

Теперь, чтобы найти эти корни, мы можем воспользоваться формулой корней:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$$$$x=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$$

Подставляя значения из нашего уравнения:

$$x=\frac{-10\pm \sqrt{12}}{2}$$$$x=\frac{-10\pm \sqrt{12}}{2}$$
$$x=\frac{-10\pm 2\sqrt{3}}{2}$$$$x=\frac{-10\pm 2\sqrt{3}}{2}$$

Теперь мы можем разложить выражение на две части:

1) Когда подставляем $x=\frac{-10+2\sqrt{3}}{2}$$x=\frac{-10+2\sqrt{3}}{2}$:
$$x=-5+\sqrt{3}$$$$x=-5+\sqrt{3}$$

2) Когда подставляем $x=\frac{-10-2\sqrt{3}}{2}$$x=\frac{-10-2\sqrt{3}}{2}$:
$$x=-5-\sqrt{3}$$$$x=-5-\sqrt{3}$$

Таким образом, корни уравнения $x^2+10x+22=0$$x^2+10x+22=0$ равны $-5+\sqrt{3}$$-5+\sqrt{3}$ и $-5-\sqrt{3}$$-5-\sqrt{3}$.

Перейдем к решению второй задачи.

2) Решить уравнение $x^2+106x+693=0$$x^2+106x+693=0$:

Для начала, давайте снова воспользуемся формулой дискриминанта:

$$\mathrm{\Delta }=(106{)}^2-4(1)(693)$$$$\mathrm{\Delta }=(106{)}^2-4(1)(693)$$
$$\mathrm{\Delta }=11236-2772$$$$\mathrm{\Delta }=11236-2772$$
$$\mathrm{\Delta }=8464$$$$\mathrm{\Delta }=8464$$

Так как дискриминант $\mathrm{\Delta }$$\mathrm{\Delta }$ также больше нуля, у нас есть два различных корня.

Используем формулу корней:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$$$$x=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$$

Подставляем значения из нашего уравнения:

$$x=\frac{-106\pm \sqrt{8464}}{2}$$$$x=\frac{-106\pm \sqrt{8464}}{2}$$
$$x=\frac{-106\pm 92}{2}$$$$x=\frac{-106\pm 92}{2}$$

Разделим выражение на две составляющие:

1) Когда подставляем $x=\frac{-106+92}{2}$$x=\frac{-106+92}{2}$:
$$x=-7$$$$x=-7$$

2) Когда подставляем $x=\frac{-106-92}{2}$$x=\frac{-106-92}{2}$:
$$x=-99$$$$x=-99$$

Таким образом, корни уравнения $x^2+106x+693=0$$x^2+106x+693=0$ равны -7 и -99.

Переходим к третьей задаче.

3) Упростите выражение $\frac{x^2-64}{x^2-11x+24}$$\frac{x^2-64}{x^2-11x+24}$:

Для упрощения этого выражения, воспользуемся факторизацией числителя и знаменателя.

Числитель $x^2-64$$x^2-64$ является разностью квадратов и может быть разложен следующим образом:

$x^2-64=(x+8)(x-8)$$x^2-64=(x+8)(x-8)$

Знаменатель $x^2-11x+24$$x^2-11x+24$ также может быть факторизован:

$x^2-11x+24=(x-3)(x-8)$$x^2-11x+24=(x-3)(x-8)$

Теперь выражение принимает вид:

$\frac{(x+8)(x-8)}{(x-3)(x-8)}$$\frac{(x+8)(x-8)}{(x-3)(x-8)}$

Заметим, что $(x-8)$$(x-8)$ в числителе и знаменателе сокращается:

$\frac{(x+8)\text{cancel}(x-8)}{(x-3)\text{cancel}(x-8)}$$\frac{(x+8)\text{cancel}(x-8)}{(x-3)\text{cancel}(x-8)}$

Таким образом, упрощенное выражение равно:

$\frac{x+8}{x-3}$$\frac{x+8}{x-3}$

Данный ответ уже рассмотрит и упрощенное выражение, с раскрытыми скобками и заполненными промежуточными шагами для лучшего понимания школьника. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!