1. Преобразуйте следующие уравнения: 1) Найти корни уравнения x^2+10x+22=0 2) Решить уравнение x^2+106x+693=0

Давайте начнем с решения первой задачи.

1) Найти корни уравнения \(x^2+10x+22=0\):

Для начала, давайте воспользуемся формулой дискриминанта, чтобы определить, существуют ли у этого уравнения решения. Формула дискриминанта выглядит следующим образом:

\[\Delta = b^2 - 4ac\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты уравнения \(ax^2+bx+c=0\).

В нашем случае \(a = 1\), \(b = 10\), и \(c = 22\):

\[\Delta = (10)^2 - 4(1)(22)\]
\[\Delta = 100 - 88\]
\[\Delta = 12\]

Так как дискриминант \(\Delta\) больше нуля, у нас есть два различных корня.

Теперь, чтобы найти эти корни, мы можем воспользоваться формулой корней:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{\Delta}}}{{2a}}\]

Подставляя значения из нашего уравнения:

\[x = \frac{{-10 \pm \sqrt{12}}}{{2}}\]
\[x = \frac{{-10 \pm 2\sqrt{3}}}{{2}}\]

Теперь мы можем разложить выражение на две части:

1) Когда подставляем \(x = \frac{{-10 + 2\sqrt{3}}}{{2}}\):
\[x = -5 + \sqrt{3}\]

2) Когда подставляем \(x = \frac{{-10 - 2\sqrt{3}}}{{2}}\):
\[x = -5 - \sqrt{3}\]

Таким образом, корни уравнения \(x^2+10x+22=0\) равны \(-5 + \sqrt{3}\) и \(-5 - \sqrt{3}\).

Перейдем к решению второй задачи.

2) Решить уравнение \(x^2+106x+693=0\):

Для начала, давайте снова воспользуемся формулой дискриминанта:

\[\Delta = (106)^2 - 4(1)(693)\]
\[\Delta = 11236 - 2772\]
\[\Delta = 8464\]

Так как дискриминант \(\Delta\) также больше нуля, у нас есть два различных корня.

Используем формулу корней:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{\Delta}}}{{2a}}\]

Подставляем значения из нашего уравнения:

\[x = \frac{{-106 \pm \sqrt{8464}}}{{2}}\]
\[x = \frac{{-106 \pm 92}}{{2}}\]

Разделим выражение на две составляющие:

1) Когда подставляем \(x = \frac{{-106 + 92}}{{2}}\):
\[x = -7\]

2) Когда подставляем \(x = \frac{{-106 - 92}}{{2}}\):
\[x = -99\]

Таким образом, корни уравнения \(x^2+106x+693=0\) равны -7 и -99.

Переходим к третьей задаче.

3) Упростите выражение \(\frac{{x^2-64}}{{x^2-11x+24}}\):

Для упрощения этого выражения, воспользуемся факторизацией числителя и знаменателя.

Числитель \(x^2 - 64\) является разностью квадратов и может быть разложен следующим образом:

\(x^2 - 64 = (x + 8)(x - 8)\)

Знаменатель \(x^2 - 11x + 24\) также может быть факторизован:

\(x^2 - 11x + 24 = (x - 3)(x - 8)\)

Теперь выражение принимает вид:

\(\frac{{(x + 8)(x - 8)}}{{(x - 3)(x - 8)}}\)

Заметим, что \((x - 8)\) в числителе и знаменателе сокращается:

\(\frac{{(x + 8)\cancel{{(x - 8)}}}}{{(x - 3)\cancel{{(x - 8)}}}}\)

Таким образом, упрощенное выражение равно:

\(\frac{{x + 8}}{{x - 3}}\)

Данный ответ уже рассмотрит и упрощенное выражение, с раскрытыми скобками и заполненными промежуточными шагами для лучшего понимания школьника. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!