1. Представить векторы AC, BC и AB (M, N - midpoints of the sides of triangle ABC) в виде комбинаций векторов е1

Решение:

1. Для представления векторов AC, BC и AB в виде комбинаций векторов е1 и е2, мы можем использовать понятие средней точки отрезка.

В данном случае, пусть A и B будут точками, задающими отрезок AB. Вектор AB может быть представлен как разность координат точек A и B:

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}\)

Так как M и N являются средними точками отрезков AC и BC соответственно, мы можем выразить эти векторы в терминах \(\overrightarrow{AB}\):

\(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{BN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)

Теперь мы можем выразить векторы AC, BC и AB в виде комбинаций векторов е1 и е2:

\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CM}\)

\(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CN}\)

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CN} + \overrightarrow{NB}\)

Подставив ранее найденные значения для векторов AM и BN, получим:

\(\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CM}\)

\(\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}\)

\(\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CN} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)

2. Мы должны выразить вектор OM - ON в терминах векторов.

Для этого сначала выразим вектор OM и ON в терминах векторов OA и OB и воспользуемся свойством разности векторов.

Вектор OM может быть представлен как разность векторов:

\(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{AM}\)

Аналогично, вектор ON может быть представлен как разность векторов:

\(\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{AN}\)

Подставив найденные ранее выражения для векторов AM и AN, получим:

\(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

Теперь мы можем выразить вектор OM - ON в терминах векторов:

\(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{ON} = (\overrightarrow{OA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}) - (\overrightarrow{OA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB})\)

Упрощая, получим:

\(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{ON} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \mathbf{0}\)

Таким образом, получаем, что вектор OM - ON равен нулевому вектору.

В общем виде, \(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{ON} = \mathbf{0}\), что означает, что вектор OM и вектор ON равны.