С использованием методов дифференциального исчисления, необходимо найти оптимальное количество дней для подготовки

Для решения данной задачи воспользуемся методами дифференциального исчисления.

Дано, что студент изучает \((t + \frac{t}{k})\) долю курса за \(t\) дней, а затем забывает \(\alpha \cdot t\) данной информации. Наша цель - найти оптимальное количество дней \(t\), при котором будет изучена наибольшая часть курса.

Предположим, что количество дней, в течение которых студент забывает информацию, не влияет на его способность усваивать новый материал. Тогда можем установить, что к моменту начала каждого нового периода усвоения, студент забыл \(\alpha \cdot t\) информации.

Рассмотрим производную от \(t + \frac{t}{k} - \alpha \cdot t\) по \(t\) и найдем точки экстремума этой функции. Для этого продифференцируем данное выражение:

\(\frac{d}{dt} \left( t + \frac{t}{k} - \alpha \cdot t \right)\)

При дифференцировании всего выражения, получим:

\(1 + \frac{1}{k} - \alpha\)

Точка экстремума будет являться решением уравнения:

\(1 + \frac{1}{k} - \alpha = 0\)

Решим это уравнение относительно \(\alpha\):

\(\alpha = 1 + \frac{1}{k}\)

Таким образом, оптимальное значение \(\alpha\) равно \(\alpha = 1 + \frac{1}{k}\).

Теперь, построим график функции \(t + \frac{t}{k} - \alpha \cdot t\) в зависимости от \(t\) при известном значении \(\alpha = 1 + \frac{1}{k}\). Рассмотрим этот график для положительных значений \(t\).

\[
\begin{align*}
\text{Вывод:} \\
\text{Таким образом, используя методы дифференциального исчисления, мы определили, что оптимальное количество дней для подготовки} \\
\text{составляет \(t\), при котором студент успеет изучить наибольшую часть курса, при условии, что } \\
\text{\(\alpha = 1 + \frac{1}{k}\).}
\end{align*}
\]

Примечание: Важно отметить, что решение данной задачи является лишь одним из подходов и может быть дополнено или изменено в зависимости от дополнительных условий или требований задачи.