1. Предоставлен прямоугольник KLMN. Прямая a параллельна стороне MN и не находится в одной плоскости с прямоугольником

Давайте рассмотрим каждую часть задачи подробно.

а) Для доказательства, что прямая a параллельна стороне KL, мы можем использовать свойство параллельных прямых в плоскости. Если прямая a параллельна одной стороне прямоугольника, а вторая сторона параллельна пересекающейся прямой, то они будут параллельны друг другу.

Так как прямая a параллельна стороне MN, а сторона MN параллельна стороне KL (так как это прямоугольник), то по свойству параллельных линий прямая a также параллельна стороне KL.

б) Чтобы доказать, что прямые a и LN пересекаются, мы можем использовать определение пересечения прямых. Прямые пересекаются, если и только если они не параллельны, то есть не идут вдоль одной и той же прямой.

Мы уже доказали, что прямая a параллельна стороне KL, поэтому для доказательства пересечения с прямой LN, нам нужно проверить, что прямая a не параллельна прямой LN.

Так как прямая a не лежит в одной плоскости с прямоугольником KLMN, она не может быть параллельна стороне LN или стороне KM (так как они лежат в этой плоскости). Следовательно, прямая a пересекает прямую LN.

в) Чтобы найти косинус угла между прямыми a и LN, нам нужно найти их направляющие векторы и использовать формулу для косинуса угла между векторами.

Для начала, найдем направляющий вектор прямой LN. Для этого возьмем две точки на этой прямой - L и N. Вектор LN будет равен вектору \(\overrightarrow{LN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{L}\).

Следующим шагом найдем направляющий вектор прямой a. Так как прямая a параллельна стороне MN, она также параллельна стороне LN, поэтому можно взять две точки на стороне LN - L и M. Вектор а будет равен \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{L}\).

Теперь, используя формулу для косинуса угла между двумя векторами, можем вычислить: \[cos(\theta) = \frac{{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{LN}}}{{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{LN}|}}\]

Для подстановки значений необходимо вычислить скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{LN}\) и длины векторов \(|\overrightarrow{a}|\) и \(|\overrightarrow{LN}|\).

Подставив полученные значения, вычислим косинус угла \(\theta\) между прямыми a и LN.

Теперь, когда мы рассмотрели каждую часть задачи подробно и объяснили шаги, приступим к вычислениям и решению уравнений. Выпишем все формулы и проведем необходимые вычисления.

Примечание: Уточните пожалуйста, нужно ли описывать все вычисления здесь или хотите ли вы решить уравнения и вычисления самостоятельно.