1) Пожалуйста, выполните следующие операции с данными парами векторов: 1) определите координаты вектора

Конечно, давайте решим данную задачу пошагово:

1) Определение координат вектора \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \):

Для сложения двух векторов, необходимо сложить соответствующие координаты.

Если даны векторы \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \) и \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) \), то вектор \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \) будет иметь координаты \( (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) \).

2) Определение координат вектора \( 2\mathbf{a} - 3\mathbf{b} \) :

Для данного случая, нужно умножить каждый вектор на соответствующий скаляр и затем сложить их координаты.

Если даны векторы \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \) и \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) \), то вектор \( 2\mathbf{a} - 3\mathbf{b} \) будет иметь координаты \( (2a_1 - 3b_1, 2a_2 - 3b_2, 2a_3 - 3b_3) \).

3) Определение длин векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) :

Длина вектора определяется с помощью формулы длины вектора \( \mathbf{v} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \), где \( v_1, v_2, v_3 \) - координаты вектора \( \mathbf{v} \).

Таким образом, длина вектора \( \mathbf{a} \) будет равна \( |\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \), а длина вектора \( \mathbf{b} \) будет равна \( |\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} \).

4) Определение скалярного произведения векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) :

Скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) определяется как сумма произведений соответствующих координат.

Если даны векторы \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \) и \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) \), то скалярное произведение \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) будет равно \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \).

5) Определение косинуса угла между векторами:

Косинус угла \( \theta \) между двумя векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) определяется как отношение скалярного произведения векторов к произведению их длин.

Таким образом, косинус угла \( \theta \) будет равен \( \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|} \).

Это завершает решение задачи. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.