Какова вероятность того, что участник, выбрав один билет наугад, сможет ответить на все вопросы, если в экзаменационных

Данная задача связана с теорией вероятностей. Для решения потребуется определить количество возможных комбинаций вопросов на билете, а затем рассчитать вероятность правильного выбора такого билета.

В данном случае имеется 50 теоретических вопросов и 22 задачи, из которых выбирается 2 теоретических вопроса и 1 задача на билет. Поскольку в каждом билете содержится 2 теоретических вопроса и 1 задача, можно рассчитать количество комбинаций выбора вопросов для одного билета:

\[
\text{Количество комбинаций вопросов на билете} = \binom{50}{2} \cdot \binom{22}{1}
\]

Где символ \(\binom{n}{k}\) обозначает количество сочетаний из \(n\) элементов, выбранных \(k\) способами.

Теперь необходимо рассчитать общее количество комбинаций выбора вопросов из всех билетов. Поскольку у нас имеется 28 билетов, мы должны вычислить количество комбинаций для каждого из билетов и сложить их:

\[
\text{Количество комбинаций вопросов для всех билетов} = \text{Количество комбинаций вопросов на билете} \cdot \text{Количество билетов}
\]

Теперь мы можем рассчитать вероятность правильного выбора билета, который позволит участнику ответить на все вопросы. Для этого необходимо разделить количество комбинаций вопросов на билете на общее количество комбинаций вопросов для всех билетов:

\[
\text{Вероятность ответить на все вопросы} = \frac{\text{Количество комбинаций вопросов на билете}}{\text{Количество комбинаций вопросов для всех билетов}}
\]

Теперь рассчитаем значение данной вероятности:

\[
\text{Количество комбинаций вопросов на билете} = \binom{50}{2} \cdot \binom{22}{1} = \frac{50!}{2! \cdot (50-2)!} \cdot \frac{22!}{1! \cdot (22-1)!}
\]

\[
\text{Количество комбинаций вопросов для всех билетов} = \text{Количество комбинаций вопросов на билете} \cdot \text{Количество билетов} = \binom{50}{2} \cdot \binom{22}{1} \cdot 28
\]

Теперь подставим значения в формулу для рассчета вероятности:

\[
\text{Вероятность ответить на все вопросы} = \frac{\binom{50}{2} \cdot \binom{22}{1}}{\binom{50}{2} \cdot \binom{22}{1} \cdot 28}
\]

\[
\text{Вероятность ответить на все вопросы} = \frac{\frac{50!}{2! \cdot (50-2)!} \cdot \frac{22!}{1! \cdot (22-1)!}}{\frac{50!}{2! \cdot (50-2)!} \cdot \frac{22!}{1! \cdot (22-1)!} \cdot 28}
\]

\[
\text{Вероятность ответить на все вопросы} = \frac{\cancel{\frac{50!}{2! \cdot (50-2)!}} \cdot \cancel{\frac{22!}{1! \cdot (22-1)!}}}{\cancel{\frac{50!}{2! \cdot (50-2)!}} \cdot \cancel{\frac{22!}{1! \cdot (22-1)!}} \cdot 28}
\]

\[
\text{Вероятность ответить на все вопросы} = \frac{1}{28}
\]

Таким образом, вероятность того, что участник, выбрав один билет наугад, сможет ответить на все вопросы, равна \(\frac{1}{28}\) или около 0.036.