1. Пожалуйста, вычислите следующие значения: а) sin 150º, cos 240º, tg 135º, ctg 315º; б) tg п/4, ctg п /2.
2. Пожалуйста, вычислите следующие выражения: а) 2 cos²α+1 при tg α=п/4; б) sin²х – 2 cos²х, если sin х= - 0,4; в) 6sin a−2cos a /sin a −cos a, если tg α = 3.
3. Пожалуйста, найдите значение выражения: (sin 5п/4 - cos 3п/4)·tg 7п/3.
4. Дано: sin α =√ 15/5. Пожалуйста, найдите: cos α, tg α, ctg α.
5. Пожалуйста, упростите следующие выражения: а) sin α · cos α · tg α; б) sin²х- tg x· ctg x; в) (1- sin²α) · tg ²α; г) cos²α· tg ²α/1−сos²α.
2. Пожалуйста, вычислите следующие выражения: а) 2 cos²α+1 при tg α=п/4; б) sin²х – 2 cos²х, если sin х= - 0,4; в) 6sin a−2cos a /sin a −cos a, если tg α = 3.
3. Пожалуйста, найдите значение выражения: (sin 5п/4 - cos 3п/4)·tg 7п/3.
4. Дано: sin α =√ 15/5. Пожалуйста, найдите: cos α, tg α, ctg α.
5. Пожалуйста, упростите следующие выражения: а) sin α · cos α · tg α; б) sin²х- tg x· ctg x; в) (1- sin²α) · tg ²α; г) cos²α· tg ²α/1−сos²α.
Бельчонок
Хорошо, давайте решим каждую задачу по очереди.
1. а) Чтобы вычислить значения sin 150º, cos 240º, tg 135º и ctg 315º, давайте вспомним основные значения тригонометрических функций на известных углах.
- sin 150º: синус 150º равен синусу дополнения до 180º, то есть синусу 30º, и он равен 1/2.
\(sin 150º = sin(180º - 30º) = sin 30º = \frac{1}{2}\)
- cos 240º: косинус 240º равен косинусу дополнения до 360º, то есть косинусу 120º, и он равен -1/2.
\(cos 240º = cos(360º - 120º) = cos 120º = -\frac{1}{2}\)
- tg 135º: тангенс 135º равен тангенсу дополнения до 180º, то есть тангенсу 45º, и он равен 1.
\(tg 135º = tg(180º - 45º) = tg 45º = 1\)
- ctg 315º: котангенс 315º равен котангенсу дополнения до 360º, то есть котангенсу 45º, и он равен 1.
\(ctg 315º = ctg(360º - 45º) = ctg 45º = 1\)
б) Для вычисления tg п/4 и ctg п/2, воспользуемся определением тангенса и котангенса через синусы и косинусы.
- tg п/4: тангенс п/4 равен отношению синуса п/4 к косинусу п/4. Синус п/4 равен 1/√2, а косинус п/4 также равен 1/√2, поэтому tg п/4 равен 1.
\(tg \frac{\pi}{4} = \frac{sin \frac{\pi}{4}}{cos \frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 1\)
- ctg п/2: котангенс п/2 равен отношению косинуса п/2 к синусу п/2. Косинус п/2 равен 0, а синус п/2 равен 1, поэтому ctg п/2 не определен.
\(ctg \frac{\pi}{2} = \frac{cos \frac{\pi}{2}}{sin \frac{\pi}{2}} = \frac{0}{1}\)
\(ctg \frac{\pi}{2}\) не определен.
2. а) Для вычисления выражения \(2 \cdot cos^2\alpha + 1\) при \(tg \alpha = \frac{\pi}{4}\), нам нужно выразить косинус через тангенс и подставить значение тангенса.
Из определения тангенса мы знаем, что \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). Разделив обе части на \(\cos \alpha\), получаем \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\cos \alpha} = \frac{\tan \alpha}{\cos \alpha}\). Теперь можно подставить \(\frac{\pi}{4}\) вместо \(\tan \alpha\).
\(2 \cdot \cos^2\frac{\pi}{4} + 1 = 2 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 1 + 1 = 2\)
б) Чтобы вычислить выражение \(sin^2x - 2 \cdot cos^2x\) при \(sin x = -0.4\), нам нужно выразить косинус через синус и подставить значение синуса.
Из определения синуса мы знаем, что \(\sin^2x + \cos^2x = 1\), откуда \(\cos^2x = 1 - \sin^2x\). Подставим значение синуса.
\(sin^2x - 2 \cdot cos^2x = (-0.4)^2 - 2 \cdot (1 - (-0.4)^2) = 0.16 - 2 \cdot (1 - 0.16) = 0.16 - 2 \cdot 0.84 = 0.16 - 1.68 = -1.52\)
в) Чтобы вычислить выражение \(\frac{6 \cdot \sin \alpha - 2 \cdot \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}\) при \(tg \alpha = 3\), нам нужно выразить синус и косинус через тангенс и подставить значение тангенса.
Из определения тангенса мы знаем, что \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). Разделив обе части на \(\cos \alpha\), получаем \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\cos \alpha} = \frac{\tan \alpha}{\cos \alpha}\). Теперь можно подставить значение тангенса.
\(\frac{6 \cdot \sin \alpha - 2 \cdot \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = \frac{6 \cdot \tan \alpha - 2}{\tan \alpha - 1} = \frac{6 \cdot 3 - 2}{3 - 1} = \frac{18 - 2}{2} = \frac{16}{2} = 8\)
3. Для нахождения значения выражения \((\sin \frac{5\pi}{4} - \cos \frac{3\pi}{4}) \cdot \tan \frac{7\pi}{3}\) нам нужно вычислить значения синусов, косинусов и тангенса указанных углов и выполнить указанные операции.
- \(\sin \frac{5\pi}{4}\) равен \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
- \(\cos \frac{3\pi}{4}\) равен \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
- \(\tan \frac{7\pi}{3}\) равен \(-\sqrt{3}\)
Теперь выполняем операции:
\((-\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})) \cdot (-\sqrt{3}) = 0 \cdot (-\sqrt{3}) = 0\)
4. Дано: \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{5}\). Чтобы найти \(\cos \alpha\), \(\tan \alpha\) и \(\cot \alpha\), воспользуемся определениями тригонометрических функций:
- \(\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}\)
- \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)
- \(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}\)
Подставим значение \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{5}\) и вычислим:
\(\cos \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{15}{25}} = \sqrt{1 - \frac{3}{5}} = \sqrt{\frac{5}{5} - \frac{3}{5}} = \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}\)
\(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{5}}{\frac{\sqrt{10}}{5}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{15}{10}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}\)
\(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2 \cdot \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}\)
5. Давайте упростим каждое выражение по отдельности:
а) Для упрощения выражения \(sin \alpha \cdot cos \alpha \cdot tg \alpha\), воспользуемся определением тангенса через синусы и косинусы.
\(sin \alpha \cdot cos \alpha \cdot tg \alpha = \sin \alpha \cdot cos \alpha \cdot \frac{sin \alpha}{cos \alpha}\). Здесь сокращаются множители \(cos \alpha\) и \(sin \alpha\).
\(sin \alpha \cdot cos \alpha \cdot tg \alpha = \sin \alpha \cdot \sin \alpha = \sin^2 \alpha\)
б) Для упрощения выражения \(sin^2x - tg x \cdot ctg x\), воспользуемся определениями тангенса и котангенса через синусы и косинусы.
\(sin^2x - tg x \cdot ctg x = sin^2x - \frac{sin x}{cos x} \cdot \frac{cos x}{sin x}\). Сокращаем множители \(sin x\) и \(cos x\).
\(sin^2x - tg x \cdot ctg x = sin^2x - 1 = 1 - cos^2x - 1 = -cos^2x\)
в) Для упрощения выражения \((1 - sin^2 \alpha) \cdot tg^2 \alpha\), воспользуемся определением тангенса через синусы и косинусы.
\((1 - sin^2 \alpha) \cdot tg^2 \alpha = (1 - sin^2 \alpha) \cdot \left(\frac{sin \alpha}{cos \alpha}\right)^2\). Подставляем значения известного соотношения \(1 - sin^2 \alpha = cos^2 \alpha\).
\((1 - sin^2 \alpha) \cdot tg^2 \alpha = cos^2 \alpha \cdot \frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} = sin^2 \alpha\)
г) Для упрощения выражения \(\frac{cos^2 \alpha \cdot tg^2 \alpha}{1 - cos^2 \alpha}\), воспользуемся определениями тангенса через синусы и косинусы.
\(\frac{cos^2 \alpha \cdot tg^2 \alpha}{1 - cos^2 \alpha} = \frac{(cos \alpha \cdot \frac{sin \alpha}{cos \alpha})^2}{1 - cos^2 \alpha}\). Сокращаем множители \(cos \alpha\) в числителе и знаменателе.
\(\frac{cos^2 \alpha \cdot tg^2 \alpha}{1 - cos^2 \alpha} = \frac{sin^2 \alpha}{1 - cos^2 \alpha} = \frac{sin^2 \alpha}{sin^2 \alpha} = 1\)
1. а) Чтобы вычислить значения sin 150º, cos 240º, tg 135º и ctg 315º, давайте вспомним основные значения тригонометрических функций на известных углах.
- sin 150º: синус 150º равен синусу дополнения до 180º, то есть синусу 30º, и он равен 1/2.
\(sin 150º = sin(180º - 30º) = sin 30º = \frac{1}{2}\)
- cos 240º: косинус 240º равен косинусу дополнения до 360º, то есть косинусу 120º, и он равен -1/2.
\(cos 240º = cos(360º - 120º) = cos 120º = -\frac{1}{2}\)
- tg 135º: тангенс 135º равен тангенсу дополнения до 180º, то есть тангенсу 45º, и он равен 1.
\(tg 135º = tg(180º - 45º) = tg 45º = 1\)
- ctg 315º: котангенс 315º равен котангенсу дополнения до 360º, то есть котангенсу 45º, и он равен 1.
\(ctg 315º = ctg(360º - 45º) = ctg 45º = 1\)
б) Для вычисления tg п/4 и ctg п/2, воспользуемся определением тангенса и котангенса через синусы и косинусы.
- tg п/4: тангенс п/4 равен отношению синуса п/4 к косинусу п/4. Синус п/4 равен 1/√2, а косинус п/4 также равен 1/√2, поэтому tg п/4 равен 1.
\(tg \frac{\pi}{4} = \frac{sin \frac{\pi}{4}}{cos \frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 1\)
- ctg п/2: котангенс п/2 равен отношению косинуса п/2 к синусу п/2. Косинус п/2 равен 0, а синус п/2 равен 1, поэтому ctg п/2 не определен.
\(ctg \frac{\pi}{2} = \frac{cos \frac{\pi}{2}}{sin \frac{\pi}{2}} = \frac{0}{1}\)
\(ctg \frac{\pi}{2}\) не определен.
2. а) Для вычисления выражения \(2 \cdot cos^2\alpha + 1\) при \(tg \alpha = \frac{\pi}{4}\), нам нужно выразить косинус через тангенс и подставить значение тангенса.
Из определения тангенса мы знаем, что \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). Разделив обе части на \(\cos \alpha\), получаем \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\cos \alpha} = \frac{\tan \alpha}{\cos \alpha}\). Теперь можно подставить \(\frac{\pi}{4}\) вместо \(\tan \alpha\).
\(2 \cdot \cos^2\frac{\pi}{4} + 1 = 2 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 1 + 1 = 2\)
б) Чтобы вычислить выражение \(sin^2x - 2 \cdot cos^2x\) при \(sin x = -0.4\), нам нужно выразить косинус через синус и подставить значение синуса.
Из определения синуса мы знаем, что \(\sin^2x + \cos^2x = 1\), откуда \(\cos^2x = 1 - \sin^2x\). Подставим значение синуса.
\(sin^2x - 2 \cdot cos^2x = (-0.4)^2 - 2 \cdot (1 - (-0.4)^2) = 0.16 - 2 \cdot (1 - 0.16) = 0.16 - 2 \cdot 0.84 = 0.16 - 1.68 = -1.52\)
в) Чтобы вычислить выражение \(\frac{6 \cdot \sin \alpha - 2 \cdot \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}\) при \(tg \alpha = 3\), нам нужно выразить синус и косинус через тангенс и подставить значение тангенса.
Из определения тангенса мы знаем, что \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). Разделив обе части на \(\cos \alpha\), получаем \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\cos \alpha} = \frac{\tan \alpha}{\cos \alpha}\). Теперь можно подставить значение тангенса.
\(\frac{6 \cdot \sin \alpha - 2 \cdot \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = \frac{6 \cdot \tan \alpha - 2}{\tan \alpha - 1} = \frac{6 \cdot 3 - 2}{3 - 1} = \frac{18 - 2}{2} = \frac{16}{2} = 8\)
3. Для нахождения значения выражения \((\sin \frac{5\pi}{4} - \cos \frac{3\pi}{4}) \cdot \tan \frac{7\pi}{3}\) нам нужно вычислить значения синусов, косинусов и тангенса указанных углов и выполнить указанные операции.
- \(\sin \frac{5\pi}{4}\) равен \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
- \(\cos \frac{3\pi}{4}\) равен \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
- \(\tan \frac{7\pi}{3}\) равен \(-\sqrt{3}\)
Теперь выполняем операции:
\((-\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})) \cdot (-\sqrt{3}) = 0 \cdot (-\sqrt{3}) = 0\)
4. Дано: \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{5}\). Чтобы найти \(\cos \alpha\), \(\tan \alpha\) и \(\cot \alpha\), воспользуемся определениями тригонометрических функций:
- \(\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}\)
- \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)
- \(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}\)
Подставим значение \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{5}\) и вычислим:
\(\cos \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{15}{25}} = \sqrt{1 - \frac{3}{5}} = \sqrt{\frac{5}{5} - \frac{3}{5}} = \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}\)
\(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{5}}{\frac{\sqrt{10}}{5}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{15}{10}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}\)
\(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2 \cdot \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}\)
5. Давайте упростим каждое выражение по отдельности:
а) Для упрощения выражения \(sin \alpha \cdot cos \alpha \cdot tg \alpha\), воспользуемся определением тангенса через синусы и косинусы.
\(sin \alpha \cdot cos \alpha \cdot tg \alpha = \sin \alpha \cdot cos \alpha \cdot \frac{sin \alpha}{cos \alpha}\). Здесь сокращаются множители \(cos \alpha\) и \(sin \alpha\).
\(sin \alpha \cdot cos \alpha \cdot tg \alpha = \sin \alpha \cdot \sin \alpha = \sin^2 \alpha\)
б) Для упрощения выражения \(sin^2x - tg x \cdot ctg x\), воспользуемся определениями тангенса и котангенса через синусы и косинусы.
\(sin^2x - tg x \cdot ctg x = sin^2x - \frac{sin x}{cos x} \cdot \frac{cos x}{sin x}\). Сокращаем множители \(sin x\) и \(cos x\).
\(sin^2x - tg x \cdot ctg x = sin^2x - 1 = 1 - cos^2x - 1 = -cos^2x\)
в) Для упрощения выражения \((1 - sin^2 \alpha) \cdot tg^2 \alpha\), воспользуемся определением тангенса через синусы и косинусы.
\((1 - sin^2 \alpha) \cdot tg^2 \alpha = (1 - sin^2 \alpha) \cdot \left(\frac{sin \alpha}{cos \alpha}\right)^2\). Подставляем значения известного соотношения \(1 - sin^2 \alpha = cos^2 \alpha\).
\((1 - sin^2 \alpha) \cdot tg^2 \alpha = cos^2 \alpha \cdot \frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} = sin^2 \alpha\)
г) Для упрощения выражения \(\frac{cos^2 \alpha \cdot tg^2 \alpha}{1 - cos^2 \alpha}\), воспользуемся определениями тангенса через синусы и косинусы.
\(\frac{cos^2 \alpha \cdot tg^2 \alpha}{1 - cos^2 \alpha} = \frac{(cos \alpha \cdot \frac{sin \alpha}{cos \alpha})^2}{1 - cos^2 \alpha}\). Сокращаем множители \(cos \alpha\) в числителе и знаменателе.
\(\frac{cos^2 \alpha \cdot tg^2 \alpha}{1 - cos^2 \alpha} = \frac{sin^2 \alpha}{1 - cos^2 \alpha} = \frac{sin^2 \alpha}{sin^2 \alpha} = 1\)
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
