№1. Пожалуйста, измените вопрос таким образом: Каков радиус шара, в который переплавлен медный куб с ребром длиной

Задача №1: "Каков радиус шара, в который переплавлен медный куб с ребром длиной 10 см?"

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулу для объема куба и радиуса шара.

Объем куба можно найти, возводя длину его ребра в куб:

\[V = a^3\]

где \(V\) - объем куба, а \(a\) - длина ребра.

В данном случае \(a = 10\) см, поэтому:

\[V = 10^3 = 1000 \, \text{см}^3\]

Чтобы найти радиус шара, в который переплавлен куб, воспользуемся формулой для объема шара:

\[V = \frac{4}{3} \pi r^3\]

где \(V\) - объем шара, \(\pi\) - математическая константа (приближенное значение 3.14), а \(r\) - радиус шара.

Для определения радиуса, нужно выразить \(r\):

\[\frac{4}{3} \pi r^3 = 1000 \, \text{см}^3\]

Делим обе части уравнения на \(\frac{4}{3} \pi\):

\[r^3 = \frac{1000 \, \text{см}^3}{\frac{4}{3} \pi}\]

Чтобы найти значение радиуса, извлекаем кубический корень:

\[r = \sqrt[3]{\frac{1000 \, \text{см}^3}{\frac{4}{3} \pi}}\]

Вычислив это выражение, получим значение радиуса.

Подставляя числовые значения в эту формулу, получим:

\[r = \sqrt[3]{\frac{1000 \, \text{см}^3}{\frac{4}{3} \pi}} \approx 7.98 \, \text{см}\]

Ответ: радиус шара, в который переплавлен медный куб с ребром длиной 10 см, примерно равен 7.98 см.


Задача №2: "Какой объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения площадью 81 см² в шаре радиусом 15 см?"

Для решения этой задачи нам понадобятся формулы для объема шара и объема шарового сегмента.

Объем шара можно найти по формуле:

\[V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3\]

где \(V_{\text{шара}}\) - объем шара, \(\pi\) - приближенное значение математической константы пи, \(r\) - радиус шара.

В данном случае радиус шара \(r = 15\) см, поэтому:

\[V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi (15)^3 \approx 14137.16 \, \text{см}^3\]

Для нахождения объема меньшего шарового сегмента, нам понадобится формула для нахождения объема шарового сегмента. Объем шарового сегмента определяется следующим образом:

\[V_{\text{сегмента}} = \frac{1}{6} \pi h(3a^2 + h^2)\]

где \(V_{\text{сегмента}}\) - объем шарового сегмента, \(h\) - высота сегмента, \(a\) - радиус основания сегмента.

В данном случае, у нас известна площадь поперечного сечения, которая равна 81 см². Площадь поперечного сечения сегмента связана с высотой следующим образом:

\[h = \sqrt{4ar - r^2}\]

\[h = \sqrt{4 \cdot 81 - 15^2}\]

\[h = \sqrt{324}\]

\[h = 18\]

Подставим полученные значения в формулу для объема шарового сегмента:

\[V_{\text{сегмента}} = \frac{1}{6} \pi \cdot 18(3 \cdot 15^2 + 18^2)\]

\[V_{\text{сегмента}} = \frac{1}{6} \pi \cdot 18(3 \cdot 225 + 18^2)\]

\[V_{\text{сегмента}} = \frac{1}{6} \pi \cdot 18(675 + 324)\]

\[V_{\text{сегмента}} = \frac{1}{6} \pi \cdot 18 \cdot 999 \approx 9437.75\, \text{см}^3\]

Ответ: объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения площадью 81 см² в шаре радиусом 15 см, примерно равен 9437.75 см³.