1. Построить все возможные высказывания, используя кванторы из следующего предиката, и определить, какие

Задача 1:
Для данного предиката \((x \in r)\) и уравнения \(x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2\), выведем все возможные высказывания, используя кванторы, и определим их истинность.

Высказывание 1: \(\forall x: x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2\) (Для всех \(x\) выполняется \(x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2\))
Обоснование/пояснение: Это высказывание использует универсальный квантор \(\forall\), который означает "для всех". В данном случае мы утверждаем, что для всех значений \(x\), \(x^2 + 2x + 1\) будет равно \((x+1)^2\).

Высказывание 2: \(\exists x: x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2\) (Существует такое \(x\), что \(x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2\))
Обоснование/пояснение: Это высказывание использует существенный квантор \(\exists\), который означает "существует". Мы утверждаем, что существует хотя бы одно значение \(x\), для которого \(x^2 + 2x + 1\) будет равно \((x+1)^2\).

Теперь определим, какие из этих высказываний истинные, а какие ложные.

Высказывание 1 (\(\forall x: x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2\)): Истинное высказывание
Обоснование/пояснение: Данное высказывание истинно, так как уравнение \(x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2\) верно для всех значений \(x\). Это можно увидеть, раскрывая скобки и упрощая выражение.

Высказывание 2 (\(\exists x: x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2\)): Истинное высказывание
Обоснование/пояснение: Данное высказывание также истинно, так как существует, по крайней мере, одно значение \(x\), для которого уравнение \(x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2\) выполняется. Например, если возьмем \(x = 0\), то уравнение станет верным.

Таким образом, оба высказывания истинны.

Задача 2:
Для предиката \(p(x, y)\), где \(x\) является родителем, рассмотрим все возможные варианты размещения кванторов и опишем полученные высказывания словами.

Возможные варианты размещения кванторов:
1. \(\forall x \exists y: p(x, y)\): Для всех людей \(x\) существует человек \(y\), который является их родителем.
Обоснование/пояснение: Это высказывание использует универсальный квантор \(\forall\) для всех людей \(x\) и существенный квантор \(\exists\) для нахождения родителя \(y\) каждого человека \(x\).

2. \(\exists x \forall y: p(x, y)\): Существует такой человек \(x\), для которого все люди \(y\) являются его родителями.
Обоснование/пояснение: Это высказывание использует существенный квантор \(\exists\) для нахождения хотя бы одного человека \(x\), для которого все люди \(y\) являются родителями.

3. \(\exists x \exists y: p(x, y)\): Существуют два различных человека \(x\) и \(y\), такие что \(x\) является родителем \(y\).
Обоснование/пояснение: Это высказывание использует два существенных квантора \(\exists\) для нахождения двух различных человек \(x\) и \(y\), таких что \(x\) является родителем \(y\).

4. \(\forall x \forall y: p(x, y)\): Для всех людей \(x\) и \(y\), \(x\) является родителем \(y\).
Обоснование/пояснение: Это высказывание использует два универсальных квантора \(\forall\) для всех людей \(x\) и \(y\), утверждая, что \(x\) является родителем \(y\) для всех возможных комбинаций людей \(x\) и \(y\).

Таким образом, мы рассмотрели все возможные варианты размещения кванторов в предикате \(p(x, y)\) и описали полученные высказывания словами.