1. Пошукіть інтервали зростання та спадання функції y = x²-2x+3. 2. Визначте екстремуми функції y = 2x³-3x². 3. Вивчіть

1. Щоб знайти інтервали зростання та спадання функції $y=x^2-2x+3$, спочатку перевіримо, коли вона змінює свій знак. Для цього знайдемо точки, в яких $y$ дорівнює нулю:

$$x^2-2x+3=0$$

Користуючись квадратною формулою, отримаємо:

$$x=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1}$$

$$x=\frac{2\pm \sqrt{4-12}}{2}$$

$$x=\frac{2\pm \sqrt{-8}}{2}$$

Оскільки дискримінант від"ємний, не існує розв"язку цього квадратного рівняння. З цього випливає, що функція $y=x^2-2x+3$ не має жодних нулів або точок, де вона перетинає ось $x$.

Тому ми можемо скористатися знанням про форму графіку квадратної функції. Коефіцієнт при $x^2$ є позитивним, що означає, що графік функції відкритий вгору. Функція починає рости після вершини, отже, інтервал зростання функції є весь діапазон дійсних чисел $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$. Аналогічно, функція починає спадати до вершини, тому інтервал спадання функції також є весь діапазон дійсних чисел $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$.

2. Щоб знайти екстремуми функції $y=2x^3-3x^2$, спочатку знайдемо першу похідну функції:

$\frac{dy}{dx}=6x^2-6x$

Потім прирівняємо цю похідну до нуля:

$6x^2-6x=0$

Виділяємо спільний множник:

$6x(x-1)=0$

Отримуємо два розв"язки: $x=0$ і $x=1$.

Тепер треба встановити, чи ці точки є максимумами чи мінімумами. Для цього проаналізуємо другу похідну функції:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=12x-6$

Підставимо значення $x$ в другу похідну:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{x=0}=12\cdot 0-6=-6$

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{x=1}=12\cdot 1-6=6$

Якщо друга похідна менше нуля, то точка є максимумом, а якщо друга похідна більше нуля, то точка є мінімумом.

Отже, маємо:

$x=0$ - максимум

$x=1$ - мінімум

3. Щоб вивчити функцію $y=3x-x^3$ та побудувати її графік, спочатку звернемо увагу на ступінь $x$ у виразі. Це означає, що функція є кубічною.

Аналізуючи коефіцієнти, бачимо, що перед $x^3$ стоїть знак "-" і це свідчить про те, що графік буде відкритий вниз. Коефіцієнт при $x$ є позитивним, що означає зростання функції зліва направо.

Для побудови графіка складемо таблицю значень для $x$ і $y$ і після цього побудуємо графік, використовуючи ці точки. Наприклад, можна вибрати декілька значень $x$ і обчислити відповідні значення $y$:

$$\begin{array}{rl}x& =-2,y=3\cdot (-2)-(-2{)}^3=-6-(-8)=2\\ x& =-1,y=3\cdot (-1)-(-1{)}^3=-3+1=-2\\ x& =0,y=3\cdot 0-0^3=0\\ x& =1,y=3\cdot 1-1^3=3-1=2\\ x& =2,y=3\cdot 2-2^3=6-8=-2\end{array}$$

З отриманих значень можна побудувати графік, що виглядає наступним чином:

$$графік$$

4. Щоб знайти найбільше та найменше значення функції $y=-\frac{9}{x}-x$ на певному відрізку, перш за все, знайдемо область визначення функції, де $x$ не дорівнює нулю. Це можна зробити, розв"язавши нерівність:

$x\ne 0$

Тобто, функція визначена на всьому числовому прямому, за виключенням $x=0$.

Щоб знайти найбільше і найменше значення функції, проведемо аналіз за допомогою похідної. Спочатку знайдемо похідну:

$\frac{dy}{dx}=\frac{9}{x^2}-1$

Прирівняємо похідну до нуля:

$\frac{9}{x^2}-1=0$

$\frac{9}{x^2}=1$

$9=x^2$

$x=\pm 3$

Тепер візьмемо похідну другого порядку для визначення типу точок:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{18}{x^3}$

Підставимо значення $x$ в другу похідну:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{x=-3}=-\frac{18}{(-3{)}^3}=-2$

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{x=3}=-\frac{18}{3^3}=-2$

Отримали, що друга похідна в обох точках дорівнює -2, що означає, що маємо $x=-3$ - максимум та $x=3$ - мінімум.

Підставимо ці значення $x$ у функцію, щоб дізнатися найбільше і найменше значення:

$y=-\frac{9}{-3}-(-3)=3-3=0$

$y=-\frac{9}{3}-3=-3-3=-6$

Тому найбільше значення функції $y=-\frac{9}{x}-x$ на певному відрізку є 0, а найменше значення -6.