1. Пошукіть інтервали зростання та спадання функції y = x²-2x+3. 2. Визначте екстремуми функції y = 2x³-3x². 3. Вивчіть

1. Щоб знайти інтервали зростання та спадання функції \(y = x^2 - 2x + 3\), спочатку перевіримо, коли вона змінює свій знак. Для цього знайдемо точки, в яких \(y\) дорівнює нулю:

\[x^2 - 2x + 3 = 0\]

Користуючись квадратною формулою, отримаємо:

\[x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}\]

\[x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2}\]

\[x = \frac{2 \pm \sqrt{-8}}{2}\]

Оскільки дискримінант від"ємний, не існує розв"язку цього квадратного рівняння. З цього випливає, що функція \(y = x^2 - 2x + 3\) не має жодних нулів або точок, де вона перетинає ось \(x\).

Тому ми можемо скористатися знанням про форму графіку квадратної функції. Коефіцієнт при \(x^2\) є позитивним, що означає, що графік функції відкритий вгору. Функція починає рости після вершини, отже, інтервал зростання функції є весь діапазон дійсних чисел \((-\infty, +\infty)\). Аналогічно, функція починає спадати до вершини, тому інтервал спадання функції також є весь діапазон дійсних чисел \((-\infty, +\infty)\).

2. Щоб знайти екстремуми функції \(y = 2x^3 - 3x^2\), спочатку знайдемо першу похідну функції:

\(\frac{dy}{dx} = 6x^2 - 6x\)

Потім прирівняємо цю похідну до нуля:

\(6x^2 - 6x = 0\)

Виділяємо спільний множник:

\(6x(x - 1) = 0\)

Отримуємо два розв"язки: \(x = 0\) і \(x = 1\).

Тепер треба встановити, чи ці точки є максимумами чи мінімумами. Для цього проаналізуємо другу похідну функції:

\(\frac{d^2y}{dx^2} = 12x - 6\)

Підставимо значення \(x\) в другу похідну:

\(\frac{d^2y}{dx^2}|_{x=0} = 12 \cdot 0 - 6 = -6\)

\(\frac{d^2y}{dx^2}|_{x=1} = 12 \cdot 1 - 6 = 6\)

Якщо друга похідна менше нуля, то точка є максимумом, а якщо друга похідна більше нуля, то точка є мінімумом.

Отже, маємо:

\(x = 0\) - максимум

\(x = 1\) - мінімум

3. Щоб вивчити функцію \(y = 3x - x^3\) та побудувати її графік, спочатку звернемо увагу на ступінь \(x\) у виразі. Це означає, що функція є кубічною.

Аналізуючи коефіцієнти, бачимо, що перед \(x^3\) стоїть знак "-" і це свідчить про те, що графік буде відкритий вниз. Коефіцієнт при \(x\) є позитивним, що означає зростання функції зліва направо.

Для побудови графіка складемо таблицю значень для \(x\) і \(y\) і після цього побудуємо графік, використовуючи ці точки. Наприклад, можна вибрати декілька значень \(x\) і обчислити відповідні значення \(y\):

\[
\begin{align*}
x &= -2, y = 3 \cdot (-2) - (-2)^3 = -6 - (-8) = 2 \\
x &= -1, y = 3 \cdot (-1) - (-1)^3 = -3 + 1 = -2 \\
x &= 0, y = 3 \cdot 0 - 0^3 = 0 \\
x &= 1, y = 3 \cdot 1 - 1^3 = 3 - 1 = 2 \\
x &= 2, y = 3 \cdot 2 - 2^3 = 6 - 8 = -2 \\
\end{align*}
\]

З отриманих значень можна побудувати графік, що виглядає наступним чином:

\[графік\]

4. Щоб знайти найбільше та найменше значення функції \(y = -\frac{9}{x} - x\) на певному відрізку, перш за все, знайдемо область визначення функції, де \(x\) не дорівнює нулю. Це можна зробити, розв"язавши нерівність:

\(x \neq 0\)

Тобто, функція визначена на всьому числовому прямому, за виключенням \(x = 0\).

Щоб знайти найбільше і найменше значення функції, проведемо аналіз за допомогою похідної. Спочатку знайдемо похідну:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{9}{x^2} - 1\)

Прирівняємо похідну до нуля:

\(\frac{9}{x^2} - 1 = 0\)

\(\frac{9}{x^2} = 1\)

\(9 = x^2\)

\(x = \pm 3\)

Тепер візьмемо похідну другого порядку для визначення типу точок:

\(\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{18}{x^3}\)

Підставимо значення \(x\) в другу похідну:

\(\frac{d^2y}{dx^2}|_{x=-3} = -\frac{18}{(-3)^3} = -2\)

\(\frac{d^2y}{dx^2}|_{x=3} = -\frac{18}{3^3} = -2\)

Отримали, що друга похідна в обох точках дорівнює -2, що означає, що маємо \(x = -3\) - максимум та \(x = 3\) - мінімум.

Підставимо ці значення \(x\) у функцію, щоб дізнатися найбільше і найменше значення:

\(y = -\frac{9}{-3} - (-3) = 3 - 3 = 0\)

\(y = -\frac{9}{3} - 3 = -3 - 3 = -6\)

Тому найбільше значення функції \(y = -\frac{9}{x} - x\) на певному відрізку є 0, а найменше значення -6.