1) Посчитайте: а) sin 300°, б) tg (-2п/3), в) 2sin п/3 - cos п/2 ( п - Пи) 2) Найдите sin a(альфа) и tg a, если

Конечно! Начнем с решения поставленных задач.

1) а) Чтобы найти значение \(\sin 300^\circ\), мы можем использовать периодичность функции \(\sin\). Так как \(\sin 300^\circ\) находится в третьем квадранте, где значение синуса отрицательно, мы можем найти его значением для угла 60°: \(\sin 300^\circ = -\sin 60^\circ\). Значение \(\sin 60^\circ\) известно и равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому \(\sin 300^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).

б) Для нахождения \(\tg \left(-\frac{2\pi}{3}\right)\) мы можем использовать периодичность функции \(\tg\). Так как \(-\frac{2\pi}{3}\) лежит в третьем квадранте, где тангенс отрицателен, мы можем найти его значением для угла \(\frac{\pi}{3}\): \(\tg \left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\tg \frac{\pi}{3}\). Значение \(\tg \frac{\pi}{3}\) известно и равно \(\sqrt{3}\), поэтому \(\tg \left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}\).

в) Мы можем просто подставить значения углов в данное выражение и вычислить: \(2\sin \frac{\pi}{3} - \cos \frac{\pi}{2}\). Значение \(\sin \frac{\pi}{3}\) равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), а \(\cos \frac{\pi}{2} = 0\), так как \(\cos \frac{\pi}{2}\) соответствует углу 90°, где косинус равен 0. Подставляя значения, получаем \(2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \sqrt{3}\).

2) Мы знаем, что \(\cos a = -0,6\) и хотим найти \(\sin a\) и \(\tg a\). Для нахождения \(\sin a\) мы можем использовать тригонометрическую тождественность \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\). Подставляя известное значение \(\cos a\), мы получаем \(\sin a = \sqrt{1 - \cos^2 a} = \sqrt{1 - (-0,6)^2} = 0,8\). Теперь мы знаем, что \(\sin a = 0,8\).

Чтобы найти \(\tg a\), мы можем использовать определение тангенса: \(\tg a = \frac{\sin a}{\cos a}\). Подставляя известные значения, получаем \(\tg a = \frac{0,8}{-0,6} = -\frac{4}{3}\).

3) а) Мы можем использовать тригонометрические формулы суммы и разности углов:
\[
\sin (\pi + a) = -\sin a
\]
\[
\cos \left(\frac{3\pi}{2} - a\right) = -\sin a
\]
Подставляя эти значения в исходное выражение, получаем:
\[
\sin(\pi + a) + \cos \left(\frac{3\pi}{2} - a\right) = -\sin a + (-\sin a) = -2\sin a
\]

б) Мы можем использовать формулы суммы и разности углов для тангенса и котангенса:
\[
\tg \left(\frac{\pi}{2} + a\right) = -\ctg a
\]
\[
\ctg (2\pi - a) = \ctg a
\]
Подставляя эти значения в исходное выражение, получаем:
\[
\tg \left(\frac{\pi}{2} + a\right) - \ctg (2\pi - a) = -\ctg a - \ctg a = -2\ctg a
\]

в) Мы можем использовать формулу двойного угла для косинуса и выразить его через синус:
\[
\cos 2a = 2\cos^2 a - 1
\]
Также, мы знаем, что \(\sin(\pi - a) = \sin a\). Подставляя эти значения в исходное выражение, получаем:
\[
\cos 2a + 2\sin^2(\pi - a) = 2\cos^2 a - 1 + 2\sin^2 a = 2\cos^2 a + 2\sin^2 a - 1
\]
Пользуясь тригонометрической тождественностью \(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\), мы можем упростить выражение:
\[
2\cos^2 a + 2\sin^2 a - 1 = 2\cdot 1 - 1 = 1
\]

г) Мы можем использовать формулу сложения двух дробей:
\[
\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}
\]
Применяя эту формулу к исходному выражению, получаем:
\[
\frac{\sin a}{1 + \cos a} + \frac{\sin a}{1 - \cos a} = \frac{\sin a(1 - \cos a) + \sin a(1 + \cos a)}{(1 + \cos a)(1 - \cos a)}
\]
Пользуясь тригонометрической тождественностью \(\sin^2 a = 1 - \cos^2 a\), мы можем упростить числитель и знаменатель:
\[
\frac{2\sin a}{1 - \cos^2 a} = \frac{2\sin a}{\sin^2 a} = \frac{2}{\sin a}
\]

4) Для доказательства данного тождества мы начнем с левой стороны и будем постепенно его преобразовывать:
\[
\cos^2 a(1 + \tg^2 a) - \sin^2 a
\]
Используем тригонометрическое тождество \(\tg^2 a + 1 = \sec^2 a\):
\[
\cos^2 a\sec^2 a - \sin^2 a
\]
Так как \(\sec^2 a = \frac{1}{\cos^2 a}\), получаем:
\[
\frac{\cos^2 a}{\cos^2 a} - \sin^2 a
\]
Сокращаем \(\cos^2 a\):
\[
1 - \sin^2 a = \cos^2 a
\]
Таким образом, мы доказали тождество \(\cos^2 a(1 + \tg^2 a) - \sin^2 a = \cos^2 a\).

5) а) Решим уравнение \(\sin 2x = 0\). Используя тригонометрическое тождество \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\), можно записать уравнение в виде \(2\sin x \cos x = 0\). Поскольку умножение двух чисел равно 0, одно или оба из них должны быть равными 0. Поэтому имеем два случая: \(\sin x = 0\) или \(\cos x = 0\).

Для первого случая, \(\sin x = 0\), получаем \(x = 0 + k\pi\), где \(k\) - любое целое число.

Для второго случая, \(\cos x = 0\), получаем \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) или \(x = -\frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - любое целое число.

б) Решим уравнение \(\cos x \cdot \cos 2x - \sin x \cdot \sin 2x = 0\). Воспользуемся тригонометрическими тождествами \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\) и \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\). Подставим эти выражения в уравнение и преобразуем:
\[
\cos x \cdot (1 - 2\sin^2 x) - \sin x \cdot (2\sin x \cos x) = 0
\]
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\[
\cos x - 2\sin^2 x \cos x - 2\sin^2 x \cos x = 0
\]
Теперь проведем дальнейшие преобразования:
\[
\cos x - 4\sin^2 x \cos x = 0
\]
\[
\cos x(1 - 4\sin^2 x) = 0
\]
Теперь у нас есть два случая: \(\cos x = 0\) или \(1 - 4\sin^2 x = 0\).

Для первого случая, \(\cos x = 0\), получаем:
\[
x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad \text{где } k \text{ - любое целое число}
\]

Для второго случая, \(1 - 4\sin^2 x = 0\), решаем уравнение и находим корень:
\[
\sin^2 x = \frac{1}{4}
\]
\[
\sin x = \pm \frac{1}{2}
\]
\(\sin x = \frac{1}{2}\) в точках \(\frac{\pi}{6}\) и \(\frac{5\pi}{6}\), а \(\sin x = -\frac{1}{2}\) в точках \(\frac{7\pi}{6}\) и \(\frac{11\pi}{6}\). Таким образом, получаем дополнительные корни:
\[
x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad \text{где } k \text{ - любое целое число}
\]

Это ответы на задачи. Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, пожалуйста, сообщите мне.