1) Попытайтесь доказать эквивалентность работы, совершенной при движении ворот. 2) Продемонстрируйте правильность

Конечно, я помогу вам с задачами!

1) Чтобы доказать эквивалентность работы, совершенной при движении ворот, мы можем использовать принцип сохранения энергии. Давайте рассмотрим следующую ситуацию: у нас есть ворота массой \( m \), которые движутся в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Пусть начальная высота ворот \( h_1 \), а конечная высота \( h_2 \).

Для начала рассчитаем работу силы тяжести, которую она совершает при опускании ворот. Работа определяется как произведение силы на перемещение в направлении этой силы. Так как сила тяжести всегда направлена вниз, это означает, что работа будет отрицательной.

Работа силы тяжести при опускании ворот можно выразить формулой:
\[ A = -mgh_1 \]

Теперь рассмотрим работу при подъеме ворот. Когда ворота движутся вверх, сила тяжести направлена вниз, но мы прикладываем силу к воротам вверх. В этом случае работа будет положительной.

Работу силы, которую мы приложили при подъеме ворот, можно выразить формулой:
\[ A" = mgh_2 \]

Теперь, чтобы доказать эквивалентность работы, сделанной при движении ворот, мы сравним значение работы, совершенной в процессе подъема и опускания ворот:
\[ A = -mgh_1 \]
\[ A" = mgh_2 \]

Мы видим, что работа при подъеме ворот равна по абсолютной величине работе при опускании ворот, но имеет противоположный знак. Следовательно, можно заключить, что работа, совершенная при движении ворот, эквивалентна нулю.

2) Для демонстрации правильности закона сохранения энергии для гидравлического пресса, мы также воспользуемся принципом сохранения энергии.

Гидравлический пресс состоит из двух соединенных сосудов, наполненных несжимаемой жидкостью. Пусть один сосуд имеет площадь поперечного сечения \( A_1 \), а другой - площадь поперечного сечения \( A_2 \), при этом \( A_2 \) больше \( A_1 \).

Когда мы прилагаем силу к меньшему сосуду (площадь поперечного сечения \( A_1 \)) и создаем давление, это давление передается по жидкости и распространяется на больший сосуд (площадь поперечного сечения \( A_2 \)). В результате этого больший сосуд начинает подниматься.

Давайте рассмотрим начальное и конечное положение системы. Пусть начальная высота \( h_1 \) соответствует уровню жидкости в меньшем сосуде, а конечная высота \( h_2 \) соответствует уровню жидкости в большем сосуде.

Согласно принципу сохранения энергии, работа, совершаемая внешней силой при перемещении жидкости из меньшего сосуда в больший, должна быть равна изменению потенциальной энергии системы. То есть:
\[ A_{\text{внеш}} = \Delta U \]

Работа внешней силы (сила, которую мы приложили к меньшему сосуду, умноженная на перемещение) может быть выражена следующей формулой:
\[ A_{\text{внеш}} = Fd \]

Где \( F \) - сила, которую мы приложили,
\( d \) - перемещение сосуда.

Используя формулу для силы на основе давления и площади поперечного сечения сосуда, мы можем переписать формулу для работы внешней силы:
\[ A_{\text{внеш}} = P_1A_1d \]

Где \( P_1 \) - давление в меньшем сосуде.

Изменение потенциальной энергии системы может быть выражено следующей формулой:
\[ \Delta U = mgh_2 - mgh_1 \]

Где \( m \) - масса жидкости, а \( g \) - ускорение свободного падения.

Таким образом, чтобы продемонстрировать правильность закона сохранения энергии для гидравлического пресса, мы должны показать, что работа внешней силы равна изменению потенциальной энергии системы:
\[ P_1A_1d = mgh_2 - mgh_1 \]

После сокращения массы жидкости \( m \), мы получаем:
\[ P_1A_1d = gh_2 - gh_1 \]

Таким образом, мы доказали, что работа внешней силы, совершаемая при использовании гидравлического пресса, эквивалентна изменению потенциальной энергии системы. Это подтверждает справедливость закона сохранения энергии в данном случае.