1. Покажите, что треугольники ABM и CDM равны друг другу, если AM = CM и ∠BAM = ∠DCM. 2. Найдите длины сторон

1. Для доказательства равенства треугольников ABM и CDM, нам необходимо использовать сходство треугольников.

Возьмем треугольники ABM и CDM и рассмотрим данные о равенстве их сторон и углов:
AM = CM (дано) - стороны равны
∠BAM = ∠DCM (дано) - углы равны

Мы можем заметить, что угол B в треугольнике ABM и угол D в треугольнике CDM - это вертикальные углы. Вертикальные углы всегда равны. Поэтому у нас есть равенство:

∠BAM = ∠DCM (дано) = ∠MCD

Теперь мы можем сделать вывод, что треугольники ABM и CDM равны друг другу, так как мы имеем равенство всех трех сторон и двух углов, что соответствует одной из аксиом сходства треугольников.

2. Пусть x - длина боковой стороны равнобедренного треугольника, тогда его основание будет иметь длину x+7.

Периметр треугольника составляет 49 см, поэтому мы можем составить уравнение:

x + x + (x + 7) = 49

Решим это уравнение:

3x + 7 = 49
3x = 42
x = 14

Таким образом, длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна 14 см, а его основание будет иметь длину 14 + 7 = 21 см.

3. Для доказательства равенства углов ∠BAK и ∠BCM, мы воспользуемся свойством равнобедренных треугольников.

Так как треугольник ABC является равнобедренным и точка M находится на стороне AB, а точка K на стороне BC, то BM = BK (дано).

Также, равнобедренные треугольники ABC и BAK имеют равные углы между основанием и боковой стороной. Это означает, что ∠B = ∠BAK и ∠C = ∠BCM.

Так как ∠B = ∠C, то ∠B = ∠BCM и ∠B = ∠BAK.

Отсюда мы можем заключить, что ∠BAK = ∠BCM.

4. Для доказательства равенства углов ∠MCP и ∠MDP, мы также воспользуемся свойством равнобедренных треугольников.

Так как треугольник CMP - равнобедренный (CK = DK), а CP и DP являются биссектрисами основания CM и DM соответственно, это означает, что ∠MCP = ∠MCD и ∠MDP = ∠MDC.

Из предыдущего доказательства (задание 1) мы знаем, что ∠MCD = ∠BAM, поскольку треугольники ABM и CDM равны.

Следовательно, ∠MCP = ∠BAM и ∠MDP = ∠BAM.

Таким образом, ∠MCP = ∠MDP.

5. Для нахождения периметра треугольника ABD, нам необходимо узнать длины оставшихся сторон исходя из имеющихся данных.

Поскольку серединный перпендикуляр к стороне AC пересекает сторону BC в точке D, значит, отрезок BD равен длине отрезка DC.

Так как треугольник ABC является равнобедренным и AB = AC, то отрезок BD равен половине длины стороны AC.

Периметр треугольника ABD можно найти, сложив длины всех трех сторон. Исходя из данного, мы знаем, что AB = 10 см.

Для нахождения длины стороны AC, мы должны решить задачу, которую вы нам не предоставили. Если у вас есть другие данные о треугольнике ABC, пожалуйста, укажите их, и мы сможем решить данную задачу.