1. Покажите, что стороны треугольников abc и a1b1c1 параллельны. 2. Докажите, что углы треугольников abc и a1b1c1

Дана задача на доказательство и вычисление площади треугольников. Давайте решим ее пошагово.

Шаг 1: Доказательство параллельности сторон.
Чтобы доказать, что стороны треугольников abc и a1b1c1 параллельны, мы можем использовать теорему Талеса. Согласно этой теореме, если в треугольнике две стороны параллельны, то третья сторона будет разбивать пропорцию между соответствующими сторонами.

В данном случае, сторона ab параллельна стороне a1b1, сторона bc параллельна стороне b1c1, а сторона ac параллельна стороне a1c1. Также дано отношение ma:aa1 = 2:1,2.

Применим теорему Талеса к отрезкам a1b1, aa1 и ab:
\[\frac{ba1}{a1c1} = \frac{ba}{ac}\]
Подставляем значения отношений:
\[\frac{2}{1,2} = \frac{ba}{ac}\]
Путем умножения обеих сторон уравнения на 1,2, получим:
\[2,4 = \frac{ba}{ac}\]

Аналогично, применяя теорему Талеса к отрезкам b1c1, bb1 и bc, получим:
\[\frac{cb1}{b1a1} = \frac{bc}{ba}\]
Подставляем значения отношений:
\[\frac{1,2}{2} = \frac{bc}{ba}\]
Умножаем обе стороны уравнения на 2:
\[2,4 = \frac{bc}{ba}\]

Теперь мы можем сделать вывод, что отношения сторон треугольников abc и a1b1c1 равны друг другу:
\[\frac{ba}{ac} = \frac{bc}{ba} = 2,4\]
Следовательно, стороны треугольников параллельны.

Шаг 2: Доказательство равенства углов.
Так как стороны треугольников abc и a1b1c1 параллельны, мы можем использовать теорему о параллельных линиях и их пересекающихся секущих.

Теорема гласит: если три параллельные линии пересекают две секущие, то соответственные углы по определенным частям образуют равные углы.

В данном случае, сторона ab параллельна стороне a1b1, сторона bc параллельна стороне b1c1, а сторона ac параллельна стороне a1c1.

Следовательно, углы треугольников abc и a1b1c1 соответственно равны.

Шаг 3: Доказательство подобия треугольников.
Так как мы уже доказали, что стороны треугольников abc и a1b1c1 параллельны, и углы треугольников равны, мы можем заключить, что треугольники подобны друг другу.

Шаг 4: Вычисление площади треугольника a1b1c1.
Мы знаем, что отношение ma:aa1 = 2:1,2 и площадь треугольника abc равна.

Пусть S(a1b1c1) - площадь треугольника a1b1c1.

Теорема о площадях подобных треугольников утверждает, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения длин их сторон.

Применяя эту теорему, мы получаем:
\[\frac{S(a1b1c1)}{S(abc)} = \left(\frac{a1b1}{ab}\right)^2\]

Подставляем известные значения:
\[\frac{S(a1b1c1)}{S(abc)} = \left(\frac{2}{1,2}\right)^2\]

Вычисляем значение и получаем:
\[\frac{S(a1b1c1)}{S(abc)} = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}\]

Учитывая, что площадь треугольника abc равна, пусть S(abc) = S, мы можем выразить площадь треугольника a1b1c1:
\[S(a1b1c1) = \frac{25}{9} \cdot S\]

Таким образом, площадь треугольника a1b1c1 равна \(\frac{25}{9}\) от площади треугольника abc.