1. Покажите, что отрезок, проходящий через точку O и параллельный основаниям AD и BC, делит его точно пополам

1. Для доказательства того, что отрезок, проходящий через точку O и параллельный основаниям AD и BC, делит его точно пополам, используем свойство параллельных прямых:

Из свойства параллельных прямых следует, что соответствующие углы их пересекающихся прямых равны. Рассмотрим треугольник AOB, где O - точка пересечения отрезка MO и ON, A - основание AD и B - основание BC.

Обратим внимание, что угол BAO равен углу ABO, поскольку эти углы являются соответствующими углами при параллельных прямых. Таким образом, треугольник AOB является равнобедренным.

Из равнобедренности треугольника следует, что отрезок MO равен отрезку ON.

Теперь выразим MO и ON через основания AD и BC:

Пусть AD = x и BC = y.

Так как отрезок MO делит отрезок AB пополам, то MO = AO = BO. Аналогично, ON = AO = BO.

Обратим внимание, что треугольники ADO и BCO подобны, так как углы ODA и OCB являются соответственными углами при параллельных прямых и углы в параллельных прямых равны.

Используя соответствующие стороны подобных треугольников, получим:

\(\frac{{MO}}{{AD}} = \frac{{AO}}{{OD}}\) и \(\frac{{ON}}{{BC}} = \frac{{AO}}{{OC}}\)

Так как AO равен AO, значит, \(\frac{{MO}}{{AD}} = \frac{{ON}}{{BC}}\)

Подставим AD = x и BC = y:

\(\frac{{MO}}{{x}} = \frac{{ON}}{{y}}\)

2. Дано AD = 9 см и BC = 4 см.

Для нахождения длины отрезка MO и ON воспользуемся полученной формулой:

\(\frac{{MO}}{{9}} = \frac{{ON}}{{4}}\)

Перекрестно умножим:

\(MO \cdot 4 = ON \cdot 9\)

Так как мы знаем, что MO = ON (доказано в первой части), подставим это значение:

\(MO \cdot 4 = MO \cdot 9\)

Разделим обе части на MO:

\(4 = 9\)

Получаем противоречие, что невозможно.

Таким образом, длины отрезков MO и ON не могут быть одновременно определены, если AD = 9 см и BC = 4 см.

Ответ: Невозможно определить длину отрезка MO и ON при заданных значениях AD и BC.