1) Подтвердите тот факт, что медиана треугольника, образующая углы 40 и 70 градусов с его сторонами, выходящими

1) Чтобы подтвердить этот факт, нам понадобятся некоторые свойства треугольников и медиан.

Давайте рассмотрим треугольник ABC со сторонами AB, BC и AC, и пусть M будет серединой стороны AC. Поскольку AM - медиана, она делит сторону BC пополам (то есть BM = MC).

Теперь рассмотрим угол BAC, который известен нам по условию и равен 70 градусов. Так как медиана AM делит угол BAC пополам, получаем, что угол BAM равен 35 градусам (70 градусов / 2).

Теперь обратимся к углу ABC, который также известен нам по условию и равен 40 градусам. Поскольку AM - медиана, то угол AMB также равен 40 градусам.

Рассмотрим треугольник AMB. У нас есть два угла этого треугольника: BAM равен 35 градусам и BMA равен 40 градусам. Зная, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, легко вычислить третий угол, а именно угол MAB, который равен 105 градусам (180 градусов - 35 градусов - 40 градусов).

Теперь вернемся к исходной задаче, где у нас есть треугольник ABC со сторонами AB, BC и AC, и медианой AM, образующей углы 40 и 70 градусов со сторонами BC и BA.

Так как угол MAB равен 105 градусам, а угол BAM равен 35 градусам, то сумма этих двух углов равна 140 градусам (105 градусов + 35 градусов).

Поскольку сумма углов треугольника ABC равна 180 градусам, остающийся угол, а именно угол C, равен 40 градусам (180 градусов - 140 градусов).

Таким образом, мы показали, что в треугольнике ABC угол C равен 40 градусам, что и требовалось доказать.

2) Чтобы доказать, что четырехугольник, разделенный диагоналями на четыре треугольника с равными периметрами, является параллелограммом, нам понадобятся некоторые свойства параллелограммов и треугольников.

Пусть ABCD - исходный четырехугольник, который разделен диагоналями на четыре треугольника: ABD, BCD, CDA и ABC. Пусть P, Q, R и S - середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно.

Мы хотим доказать, что ABCD - параллелограмм.

1) Докажем, что AB || CD. Рассмотрим треугольники ABD и CDA. Мы знаем, что периметр треугольника ABD равен периметру треугольника CDA. Так как P и S - середины сторон AB и DA соответственно, получаем, что DP = SP. Рассмотрим треугольник SPD. Он является равнобедренным треугольником, так как DP = SP (как серединные отрезки). Следовательно, угол PSD равен углу SPD.

Поскольку угол APD является внешним углом треугольника CDA, то он равен сумме углов CDA и DCA. Аналогично, угол BSP равен сумме углов ABD и DBA. Поскольку периметры треугольников ABD и CDA равны и каждый из пар соответствующих углов равен, получаем, что углы ABC и ADC равны.

Таким образом, у нас есть две пары соответственных равных углов, что подразумевает, что AB || CD.

2) Докажем, что AD || BC. Аналогично предыдущему, используем середины сторон AD и BC и рассмотрим треугольники ABD и BCD. Мы получаем, что углы BDC и DAC равны.

Таким образом, имеем две пары соответственных равных углов, что подразумевает, что AD || BC.

3) Теперь, имея AB || CD и AD || BC, мы можем заключить, что ABCD - параллелограмм.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник, который разделен диагоналями на четыре треугольника с равными периметрами, является параллелограммом.