1) Подтвердите, что треугольник АВС является прямоугольным, где ХС является перпендикуляром к плоскости треугольника

Задача 1:
Для доказательства, что треугольник АВС является прямоугольным, нам нужно показать, что плоскости КАС и АВС перпендикулярны друг другу.

Для начала, давайте рассмотрим прямоугольный треугольник КВС. У нас есть угол КВС, который равен 45 градусов, а сторона ВС равна 6. Перпендикуляр КВ делит угол КВС пополам, поэтому у нас есть равенство углов КВС и КСВ, каждый из которых будет равен 22.5 градуса.

Теперь давайте рассмотрим треугольник АСК. У нас есть сторона АС, которая равна 14, и сторона КС, которая равна КВ + ВС. С помощью этой информации, мы можем найти значение стороны КВ.

\(КВ = КС - ВС = (14 - 6) = 8\)

Теперь давайте рассмотрим две плоскости: плоскость треугольника АВС и плоскость КАС.

Для того чтобы доказать, что эти плоскости перпендикулярны, нам нужно показать, что их нормали перпендикулярны друг другу.

Нормаль плоскости АВС будет направлена вдоль векторного произведения сторон треугольника АС и АВ.

\(\overrightarrow{n_{АВС}} = \overrightarrow{АС} \times \overrightarrow{АВ} = (14, 8, 0) \times (14, 0, 0) = (0, 0, 14 \cdot 8 - 14 \cdot 0) = (0, 0, 112)\)

Нормаль плоскости КАС будет направлена вдоль векторного произведения сторон треугольника КС и АС.

\(\overrightarrow{n_{КАС}} = \overrightarrow{КС} \times \overrightarrow{АС} = (8, 0, 0) \times (14, 8, 0) = (0, 8 \cdot 14 - 0, 8 \cdot 8 - 14 \cdot 0) = (112, 64, 0)\)

Теперь мы можем проверить, перпендикулярны ли полученные нормали. Для этого, найдем их скалярное произведение.

\(\overrightarrow{n_{АВС}} \cdot \overrightarrow{n_{КАС}} = 0 \cdot 112 + 0 \cdot 64 + 14 \cdot 112 = 0 + 0 + 1568 = 1568\)

Так как скалярное произведение не равно нулю, это означает, что нормали не перпендикулярны друг другу, а значит плоскости КАС и АВС не перпендикулярны.

Следовательно, наше предположение о том, что треугольник АВС является прямоугольным, не подтверждается.

Задача 2:
Чтобы найти расстояние от точки А до плоскости α, нам нужно знать высоту треугольника АС, проведенную из вершины А на плоскость α.

Дано, что линия АС является основанием равнобедренного треугольника, и АС равна 2√23. Это означает, что высота проведенная из вершины А (расстояние от точки А до плоскости α) равна половине длины стороны АС.

Расстояние от точки А до плоскости α равно:

\(\frac{2\sqrt{23}}{2} = \sqrt{23}\)

Таким образом, расстояние от точки А до плоскости α составляет \(\sqrt{23}\) единицы длины.