1. Подсчитайте среднюю и дисперсию количества выпадения герба при семи бросках монеты. 2. Найдите дисперсию случайной

Решение:

Задача 1:
Для подсчета средней и дисперсии количества выпадения герба при семи бросках монеты, воспользуемся биномиальным распределением.
Пусть X - случайная величина, представляющая количество выпадения герба при семи бросках монеты.

1) Среднее значение:
Среднее значение (математическое ожидание) определяется по формуле E(X) = np, где n - количество испытаний, а p - вероятность выпадения герба при одном броске.
В данном случае, n = 7 и p = 0.5 (так как монета справедливая):
E(X) = 7 * 0.5 = 3.5

2) Дисперсия:
Дисперсия определяется по формуле D(X) = np(1-p)
В нашем случае:
D(X) = 7 * 0.5 * (1 - 0.5) = 1.75

Задача 2:
Для нахождения дисперсии случайной величины X, представляющей собой число очков при броске игрального кубика, воспользуемся формулой для равномерного распределения.

3) Дисперсия:
Дисперсия равномерного распределения определяется по формуле D(X) = (b - a + 1)^2 / 12, где a - минимальное возможное значение случайной величины, b - максимальное возможное значение.
В случае броска игрального кубика, a = 1 и b = 6:
D(X) = (6 - 1 + 1)^2 / 12 = 5^2 / 12 = 25 / 12

Задача 3:
Для нахождения математического ожидания и дисперсии количества бракованных изделий в партии из 5000 изделий, воспользуемся биномиальным распределением.

4) Математическое ожидание:
Математическое ожидание определяется по формуле E(X) = np, где n - количество испытаний, а p - вероятность брака каждого изделия.
В данном случае, n = 5000 и p = 0.02:
E(X) = 5000 * 0.02 = 100

5) Дисперсия:
Дисперсия определяется по формуле D(X) = np(1-p)
В данном случае:
D(X) = 5000 * 0.02 * (1 - 0.02) = 96

Задача 4:
Для нахождения центральных моментов первого, второго, третьего и четвертого порядков случайной величины X с заданной дискретной функцией распределения, воспользуемся формулой для моментов.

6) Центральный момент первого порядка:
Центральный момент первого порядка равен 0, так как в данном случае распределение симметрично относительно своего среднего значения.

7) Центральный момент второго порядка (дисперсия):
Центральный момент второго порядка равен D(X) = (x1 - E(X))^2 * P(X = x1) + (x2 - E(X))^2 * P(X = x2) + ... + (xn - E(X))^2 * P(X = xn), где xi - значения случайной величины X, P(X = xi) - вероятность получения значения xi.
В данном случае:
Центральный момент второго порядка = (3 - 3)^2 * 0.2 + (5 - 3)^2 * 0.8 = 4 * 0.2 + 2 * 0.8 = 0.8 + 1.6 = 2.4

8) Центральный момент третьего и четвертого порядков:
Центральный момент третьего порядка = (3 - 3)^3 * 0.2 + (5 - 3)^3 * 0.8 = 0 + 8 * 0.8 = 6.4
Центральный момент четвертого порядка = (3 - 3)^4 * 0.2 + (5 - 3)^4 * 0.8 = 0 + 16 * 0.8 = 12.8

Таким образом, мы получили решения по задачам 1-4, включая подсчет среднего значения, дисперсии и центральных моментов указанных порядков.