1. первое задание. Необходимо доказать, что периметр треугольника, составленного из средних линий этого треугольника

1. Давайте рассмотрим исходный треугольник ABC. Пусть M, N и P - середины сторон AB, BC и AC соответственно. То есть точка М - середина стороны AB, точка N - середина стороны ВС, а точка P - середина стороны AC.

Чтобы доказать, что периметр треугольника, составленного из средних линий этого треугольника, в два раза меньше периметра исходного треугольника, мы должны сравнить их длины.

Периметр исходного треугольника ABC обозначим как P1, а периметр треугольника, составленного из средних линий, как P2.

Так как M, N и P - середины сторон треугольника ABC, мы можем сказать, что отрезки AM, BN и CP равны половине соответствующих сторон треугольника ABC.

Теперь рассмотрим треугольник MNP. Отрезок MN является основанием этого треугольника и равен половине стороны BC. То есть MN = BN/2.

Аналогично, отрезок MP равен половине стороны AC и NP равен половине стороны AB. Запишем эти равенства:

MN = BN/2
MP = CP/2
NP = AM/2

Теперь найдем сумму длин всех сторон треугольника MNP и обозначим ее как P2:

P2 = MN + MP + NP

Подставим значения, полученные ранее:

P2 = (BN/2) + (CP/2) + (AM/2)

Чтобы упростить выражение, умножим все слагаемые на 1/2:

P2 = (BN + CP + AM)/2

Но мы также можем записать, что BN + CP + AM равно периметру исходного треугольника ABC, обозначим его как P1:

P1 = BN + CP + AM

Тогда выражение для P2 можно переписать следующим образом:

P2 = P1/2

Из этого равенства мы видим, что периметр треугольника, составленного из средних линий, в два раза меньше периметра исходного треугольника.

Таким образом, мы доказали, что периметр треугольника, составленного из средних линий этого треугольника, в два раза меньше периметра исходного треугольника.

2. Теперь перейдем ко второй задаче, где мы должны доказать, что площадь треугольника, образованного средними линиями данного треугольника, в четыре раза меньше площади исходного треугольника.

Пусть площадь исходного треугольника ABC обозначена как S1, а площадь треугольника, образованного средними линиями, как S2.

Мы знаем, что площадь треугольника можно вычислить, используя формулу полупериметра и радиуса вписанной окружности. Давайте воспользуемся этим.

Пусть радиус вписанной окружности для исходного треугольника ABC равен R1, а для треугольника MNP - R2.

Тогда площадь треугольника ABC можно выразить как

S1 = (P1 * R1)/2,

где P1 - периметр исходного треугольника, а R1 - радиус вписанной окружности.

Аналогично, площадь треугольника MNP можно выразить как

S2 = (P2 * R2)/2,

где P2 - периметр треугольника MNP, а R2 - радиус вписанной окружности для треугольника MNP.

Мы уже установили, что P2 = P1/2. Также известно, что радиусы вписанных окружностей для двух треугольников равны половине радиусов вписанных окружностей для треугольников ABC и MNP. То есть R2 = R1/2.

Подставляя эти значения в выражение для S2, получаем:

S2 = ((P1/2) * (R1/2))/2

Для упрощения выражения, умножим все слагаемые на 1/4:

S2 = (P1 * R1)/8

Из выражения видно, что S2 равно 1/8 площади S1.

Таким образом, мы доказали, что площадь треугольника, образованного средними линиями, в четыре раза меньше площади исходного треугольника.

Надеюсь, эти доказательства помогут вам лучше понять данную тему!