1. Переведите следующие выражения в форму полинома: а) (a-3b)(a+3b) б) (5x+3)^2 в) (x+2)(x^2-2x+4) 2. Разложите

Шаг 1: Перевод выражений в форму полинома:
а) Для умножения двух скобок, мы применяем правило FOIL (First, Outer, Inner, Last), раскрывая каждую скобку и перемножая каждый элемент.
\[(a-3b)(a+3b) = a^2 - 3ab + 3ab - 9b^2 = a^2 - 9b^2\]

б) Чтобы возвести выражение во вторую степень, мы применяем правило квадрата суммы:
\[(5x+3)^2 = (5x+3)(5x+3) = 25x^2 + 15x + 15x + 9 = 25x^2 + 30x + 9\]

в) Для умножения двух скобок, мы применяем правило FOIL (First, Outer, Inner, Last), раскрывая каждую скобку и перемножая каждый элемент.
\[(x+2)(x^2-2x+4) = x^3 - 2x^2 + 4x + 2x^2 - 4x + 8 = x^3 + 8\]

Шаг 2: Разложение полиномов на множители:
а) Для разложения полинома на множители, мы ищем общие множители между всеми элементами полинома.
\[c^3 - 16c = c(c^2 - 16) = c(c+4)(c-4)\]

б) Для разложения полинома на множители, мы ищем общие множители между всеми элементами полинома.
\[3a^2 - 6ab + 3b^2 = 3(a^2 - 2ab + b^2) = 3(a-b)^2\]

в) Для разложения полинома на множители, мы применяем правило разности квадратов.
\[9m^2 - 16n^2 = (3m+4n)(3m-4n)\]

Шаг 3: Переписать выражение:
\[ (3a-a^2)^2 - a^2(a-2)(2+a) + 2a(7+3a^2) \]

Давайте раскроем скобки и упростим выражение:
\[ (9a^2 - 6a^3 + a^4) - (a^3 - 2a^2)(2 + a) + 14a + 6a^3 \]

\[ 9a^2 - 6a^3 + a^4 - 2a^3 - 4a^2 - a^4 + 14a + 6a^3 \]

Теперь объединим подобные члены:
\[ -2a^3 + 9a^2 - 4a^2 + 14a + 6a^3 \]

\[ 4a^3 + 5a^2 + 14a \]

Шаг 4: Доказательство отрицательности выражения -a^2 - 4a - 9:

Мы можем доказать отрицательность выражения путем рассмотрения значений аргумента a. Предположим, что данное выражение принимает положительное значение для некоторого a.

Если -a^2 - 4a- 9 > 0, тогда -a^2 - 4a > 9. Допустим, что -a^2 - 4a = k, где k > 9.

Рассмотрим квадратное выражение -a^2 - 4a = k и решим его относительно a:

-a^2 - 4a - k = 0

Используем квадратное уравнение и найдем дискриминант:

D = (-4)^2 - 4*(-1)*(-k) = 16 + 4k

Так как уравнение должно иметь решения, то D > 0:

16 + 4k > 0

4k > -16

k > -4

Таким образом, мы доказываем, что значение k должно быть больше -4, но по предположению k > 9, что противоречит нашему предположению. Следовательно, выражение может принимать только отрицательные значения.