1) Перепишите векторы ав, ас, ad в системе координат i, j, k и определите их длины. 2) Каков угол между векторами

Хорошо, давайте решим поставленную задачу.

1) Для начала перепишем векторы ав, ас и ad в системе координат i, j, k:
Вектор ав:
ав = -2i + 3j + 2k

Вектор ас:
ас = -2i + 3j + 8k

Вектор ad:
ad = 0i + 0j + 6k

Теперь определим длины этих векторов:
Длина вектора ав:
|ав| = √((-2)^2 + 3^2 + 2^2) = √(4 + 9 + 4) = √17 ≈ 4.123

Длина вектора ас:
|ас| = √((-2)^2 + 3^2 + 8^2) = √(4 + 9 + 64) = √77 ≈ 8.774

Длина вектора ad:
|ad| = √(0^2 + 0^2 + 6^2) = √36 = 6

2) Чтобы определить угол между векторами ав и ас, воспользуемся формулой скалярного произведения:
cos(θ) = (ав * ас) / (|ав| * |ас|)
где ав * ас - скалярное произведение векторов ав и ас, |ав| и |ас| - их длины.

Скалярное произведение векторов ав и ас:
ав * ас = (-2 * -2) + (3 * 3) + (2 * 8) = 4 + 9 + 16 = 29

Подставим значения в формулу:
cos(θ) = 29 / (4.123 * 8.774)
θ ≈ arccos(29 / (4.123 * 8.774))
θ ≈ arccos(0.792)
θ ≈ 39.04°

Таким образом, угол между векторами ав и ас составляет примерно 39.04°.

3) Чтобы найти проекцию вектора аd на вектор ав, воспользуемся формулой проекции:
proj(ad, ав) = (ad * ав) / |ав|
где ad * ав - скалярное произведение векторов ad и ав, |ав| - длина вектора ав.

Скалярное произведение векторов ad и ав:
ad * ав = (0 * -2) + (0 * 3) + (6 * 2) = 0 + 0 + 12 = 12

Подставим значения в формулу:
proj(ad, ав) = 12 / 4.123
proj(ad, ав) ≈ 2.906

Значит, проекция вектора ad на вектор ав составляет примерно 2.906.

4) Чтобы найти площадь грани авс, воспользуемся формулой площади треугольника по координатам вершин:
Площадь треугольника = 1/2 * |(x1 * (y2 - y3) + x2 * (y3 - y1) + x3 * (y1 - y2))|
где (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) - координаты вершин треугольника.

Заметим, что вершины грани авс имеют следующие координаты:
a(0, 3, 2), b(-2, 6, 2), c(-2, 3, 8)

Подставим значения в формулу:
Площадь грани авс = 1/2 * |(0 * (6 - 3) + (-2) * (3 - 2) + (-2) * (2 - 6))|
Площадь грани авс = 1/2 * |(0 + 2 + 8)|
Площадь грани авс = 1/2 * |(10)|
Площадь грани авс = 5

Таким образом, площадь грани авс равна 5.

5) Чтобы найти объем пирамиды авсd, воспользуемся формулой объема пирамиды:
Объем пирамиды = 1/6 * |(ad * (ав x ас))|
где ad * (ав x ас) - векторное произведение векторов ad, ав и ас.

Вычислим векторное произведение векторов ad, ав и ас:
ав x ас = ((3 * 8) - (2 * 3))i - ((-2 * 8) - (2 * 0))j + ((-2 * 3) - (3 * (-2)))k
= (24 - 6)i - (-16 + 0)j - ( -6 + 6)k
= 18i + 16j + 0k
= 18i + 16j

Теперь вычислим объем пирамиды:
Объем пирамиды = 1/6 * |(ad * (18i + 16j))|
= 1/6 * |(0 * 18 + 0 * 16 + 6 * 0)|
= 0

Полученный результат говорит о том, что объем пирамиды равен 0. Это может быть связано с тем, что четыре вершины пирамиды лежат в одной плоскости, и она вырождается в треугольную плоскость.

6) Уравнение ребра ас можем получить, вычислив координаты вектора, который соединяет вершины a и c:
Вектор ac = c - a
= (-2 - 0)i + (3 - 3)j + (8 - 2)k
= -2i + 0j + 6k
= -2i + 6k

Уравнение ребра ac: x = -2t, y = 0, z = 6t, где t - параметр.

7) Уравнение грани авс можно получить, используя векторное произведение векторов av и as, а также координаты одной из вершин, например, вершины a(0, 3, 2). Обозначим векторное произведение av x as как n.

Вектор av x as = ((3 * 8) - (2 * 3))i - ((-2 * 8) - (2 * 0))j + ((-2 * 3) - (3 * (-2)))k
= 18i + 16j + 0k
= 18i + 16j

Теперь, зная вектор n и координаты вершины a(0, 3, 2), мы можем записать уравнение плоскости в виде:
18(x - 0) + 16(y - 3) + 0(z - 2) = 0

Упростим это уравнение:
18x + 16y - 48 = 0

Таким образом, уравнение грани авс с вершинами a(0, 3, 2), b(-2, 6, 2), c(-2, 3, 8), d(0, ...